Question

把邊長為a的等邊三角形鐵皮如圖（1）剪去三個(gè)相同的四邊形（如圖陰影部分）后,用剩余部分做成一個(gè)無蓋的底面為正三角形的直棱柱形容器(不計(jì)接縫)如圖（2），設(shè)容器的高為x，容積為。
（Ⅰ）寫出函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）求當(dāng)x為多少時(shí)，容器的容積最大？并求出最大容積。

Answer 1

（Ⅰ）   
（Ⅱ）當(dāng)正三棱柱形容器高為時(shí)，容器的容積最大為 

（Ⅰ）因?yàn)槿萜鞯母邽?i>x，則做成的正三棱柱形容器的底邊長為----2分.
則   .  -------------5分
函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823135436969530.gif" style="vertical-align:middle;" />.    ----------------6分
（Ⅱ）實(shí)際問題歸結(jié)為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值點(diǎn).
先求的極值點(diǎn).
在開區(qū)間內(nèi)，-------------8分
令，即令，解得.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823135437296484.gif" style="vertical-align:middle;" />在區(qū)間內(nèi)，可能是極值點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.          -----11分
因此是極大值點(diǎn)，且在區(qū)間內(nèi)，是唯一的極值點(diǎn)，所以是的最大值點(diǎn)，并且最大值   
即當(dāng)正三棱柱形容器高為時(shí)，容器的容積最大為.------14分