Question

已知f（x₀）=xe^x，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），..，f_n（x）=f′_n-1（x）（n∈N^*）（f_i′（x）為f_i（x）的導(dǎo)函數(shù)，i=0，1，2，…，n-1）
（Ⅰ）請寫出f_n（x）的表達(dá)式（不需證明）；
（Ⅱ）求f_n（x）的極小值；
（Ⅲ）設(shè)g_n（x）=-x²-2（n+1）x-8n+8，g_n（x）的最大值為a，f_n（x）的最小值為b，試求a-b的最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）依題意直接寫出即可，
（Ⅱ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，找到單調(diào)區(qū)間從而求出函數(shù)的極值，
（Ⅲ）先表示出a-b，再構(gòu)造新函數(shù)h（x）=a-b，通過求導(dǎo)找到單調(diào)區(qū)間求出最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）依題意f0(x)=xex ，  f1(x)=(x+1) ex，  f2(x)=(x+2) ex ，  … ，  fn(x)=(x+n) ex(n∈N*)．
（Ⅱ）fn′(x)=(x+n+1) ex，
當(dāng)x＞-（n+1）時，fn′(x)＞0；
當(dāng)x＜-（n+1）時，fn′(x)＜0；
∴f_n（x）在區(qū)間（-∞，-n-1）上是減函數(shù)，在（-n-1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f_n（x）的極小值為fn(-n-1)=- e-(n+1) ，  n∈N*．
（Ⅲ）∵a=gn(-n-1)=(n-3)2，b=f（-n-1）=-e^-（n+1），
∴a-b=（n-3）²+e^-（n+1），
于是問題轉(zhuǎn)化為求cn=(n-3)2+e-(n+1)的最小值．
（法一）構(gòu)造函數(shù)：
令h（x）=（x-3）²+e^-（x+1）（x≥0），
則h'（x）=2（x-3）-e^-（x+1），
∵h(yuǎn)'（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增（增+增），
所以h′(x)≥h′(0)=-6-

1

e

，
又h'（3）=-e^-4＜0，h'（4）=2-e^-5＞0，
∴存在x₀∈（3，4），使得h'（x₀）=0，
又h'（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x∈[0，x₀）時，h'（x）＜0；
當(dāng)x∈[x₀，+∞）時，h'（x）＞0，
∴h（x）_min=h（x₀），
又h（4）＞h（3），
∴當(dāng)n=3時，a-b的最小值為e^-4．
（法二）利用數(shù)列的單調(diào)性：
因為cn+1-cn=2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

，
當(dāng)n≥3時，2n-5≥1 ，  

1

en+2

＞0 ，  

1

en+1

＜1，
∴2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

＞0，
即c_n+1＞c_n，
又因為c1=4+

1

e2

 ，  c2=1+

1

e3

 ，  c3=

1

e4

，
∴c₁＞c₂＞c₃，
∴當(dāng)n=3時，a-b的最小值為e^-4．

點評：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值問題，構(gòu)造新函數(shù)問題，本題是一道綜合題．