Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0，f（x）=e^x-ax，若函數(shù)在R上有且僅有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍是

 

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Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的零點

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先判斷x=0不是零點，其次說明函數(shù)f（x）在x＞0和x＜0上均有兩個零點，對x＞0的函數(shù)f（x）求導(dǎo)，對a討論，說明a≤0不可能，a＞0時，求出單調(diào)區(qū)間，求出極小值，令它小于0，解出a的范圍．

解答： 解：∵當(dāng)x≥0時，f（x）=e^x-ax，
∴f（0）=e⁰-0=1，即x=0不是零點，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在x＞0和x＜0上有相同的零點個數(shù)，
∵函數(shù)f（x）在R上有且僅有4個零點，
∴f（x）在x＞0上有且只有2個零點，
∵當(dāng)x≥0時，f（x）=e^x-ax，
導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-a，
當(dāng)a≤0時，f′（x）≥0恒成立，
f（x）在x≥0上單調(diào)增，不可能有兩個零點，
當(dāng)a＞0時，可得f（x）的增區(qū)間為（lna，+∞），減區(qū)間為（-∞，lna），
則f（lna）為極小值，令f（lna）＜0，
即e^lna-alna＜0，即a＜alna，lna＞1，
解得，a＞e，
故a的取值范圍是（e，+∞）．
故答案為：（e，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用，考查函數(shù)的零點的概念和個數(shù)的判斷，考查運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，弄清極值與0的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．