Question

某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺某產(chǎn)品的A，B，C三種部件的訂單，每臺產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2，2，1（單位：件），已知每個工人每天可生產(chǎn)A部件6件，或B部件3件，或C部件2件.該企業(yè)計劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k（k為正整數(shù)）。
（1）設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為ｘ，分別寫出完成A，B，C三種部件生產(chǎn)需要的時間；
（2）假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時開工，試確定正整數(shù)k的值，使完成訂單任務(wù)的時間最短，并給出時間最短時具體的人數(shù)分組方案。

Answer 1

解：（1）設(shè)完成A ，B ，C 三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時間（單位：天）分別為
由題設(shè)有  
其中均為1到200之間的正整數(shù)。
（2）完成訂單任務(wù)的時間為
其定義域為
易知，為減函數(shù)，為增函數(shù)
注意到
于是①當(dāng)時，
此時，
由函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時取得最小值，
解得
由于
故當(dāng)時完成訂單任務(wù)的時間最短，且最短時間為。
②當(dāng)時， 由于為正整數(shù)，故，
此時
易知為增函數(shù)，
則
的單調(diào)性知，當(dāng)時取得最小值，解得
由于
此時完成訂單任務(wù)的最短時間大于。
③當(dāng)時， 由于為正整數(shù)，故，
此時
由函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時取得最小值，解得
類似①的討論，此時完成訂單任務(wù)的最短時間為，大于
綜上所述，當(dāng)時完成訂單任務(wù)的時間最短，
此時生產(chǎn)A，B，C三種部件的人數(shù)分別為44，88，68。