Question

（2013•文昌模擬）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程

x=1+ t 2 y=2+ 3 2 t

(t為參數(shù))．
（1）寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換

x′=3x y′=y

得到曲線C′，設(shè)曲線C′上任一點(diǎn)為M（x，y），求x+2

3

y的最小值．

Answer 1

分析：（1）由極坐標(biāo)下的方程化為普通方程的公式即可將ρ=1化為普通方程；把直線l的參數(shù)方程中的參數(shù)消去即可得到直線l的普通方程．
（2）根據(jù)得到的曲線C'方程，利用三角代換即可把求x+2

3

y的最小值轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)類型的最值問題．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是曲線C上的任意一點(diǎn)，由ρ=

x2+y2

，ρ=1，可得x²+y²=1即為曲線C的直角坐標(biāo)方程．
又已知直線l的參數(shù)方程

x=1+ t 2             ① y=2+ 3 2 t           ②

  
由①可得t=2x-2，代入②得 y=2+

3

2

(2x-2)，整理為 y-2=

3

(x-1)即為直線l的普通方程．
（2）把

x′=3x y′=y

 變?yōu)?span id="brntrzt" class="MathJye">

x= x′ 3 y=y′

 將其代入曲線C的方程得(

x′

3

)2+(y′)2=1，即得到曲線C'的方程為

x′2

9

+y′2=1．
設(shè)曲線C'上任一點(diǎn)為M（x，y），代入曲線C′的方程得

x2

9

+y2=1，
令

x=3cosθ y=sinθ

，則x+2

3

y=3cosθ+2

3

sinθ=

21

sin（θ+φ），∵-1≤sin（θ+φ）≤1．
∴x+2

3

y的最小值是-

21

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是將極坐標(biāo)方程及參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)系下的普通方程，及用參數(shù)法求代數(shù)式的最值．