Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1．
（Ⅰ）求證：函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x²-ax+5a）＜f（m）的解集為{x|-3＜x＜2}，求m的值．
（Ⅲ）若f（1）=2，求f（2014）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判定即可；
（Ⅱ）利用函數(shù)單調(diào)性去掉“f“，然后根據(jù)解集可求出m的值；
（Ⅲ）令x=n，y=1，得f（n+1）-f（n）=1，然后利用累加法可求出所求．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，從而f（x₁-x₂）＞1，即f（x₁-x₂）-1＞0．
f（x₁）=f[x₂+（x₁-x₂）]=f（x₂）+f（x₁-x₂）-1＞f（x₂），
故f（x）在R上是增函數(shù)．
（Ⅱ）解：f（x²-ax+5a）＜f（m）．由（1）得x²-ax+5a＜m，即x²-ax+5a-m＜0．
∵不等式f（x²-ax+5a）＜f（m）的解集為{x|-3＜x＜2}，
∴方程x²-ax+5a-m=0的兩根為-3和2，
于是

-3+2=a -3×2=5a-b

，解得

a=-1 m=1

，
（Ⅲ）解：若f（1）=2，在已知等式中令x=n，y=1，得f（n+1）-f（n）=1，
所以累加可得，f（n）=2+（n-1）×1=n+1，故f（2014）=2015．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，以及一元二次不等式的求解，同時(shí)考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，以及運(yùn)算求解的能力．