Question

7．已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N*），若b_n+1=（n-λ）（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）（n∈N*），b₁=-λ．且數列{b_n}是單調遞增數列，則實數λ的取值范圍為（　�。�

• A． λ＞2
• B． λ＜2
• C． λ＞3
• D． λ＜3

Answer 1

分析 數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N*），取倒數可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，變形為$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=$2（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，利用等比數列的通項公式可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$+1，代入b_n+1=（n-λ）（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1），再利用數列的單調性即可得出．

解答 解：數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N*），取倒數可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，變形為$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=$2（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
∴數列$\{\frac{1}{{a}_{n}}+1\}$是等比數列，首項為2，公比為2．∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，∴b_n+1=（n-λ）（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）=（n-λ）•2ⁿ，
∵b₁=-λ，且數列{b_n}是單調遞增數列，∴b_n+1＞b_n，
∴（n-λ）•2ⁿ＞（n-1-λ）•2^n-1，化為：λ＜n+1．由于數列{n+1}是單調遞增數列，∴λ＜2．
實數λ的取值范圍為（-∞，2）．
故選：B．

點評 本題考查了等比數列的定義通項公式、數列遞推關系、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．