若數(shù)列{an}滿足:a1=m1,a2=m2,an+2=pan+1+qan(p,q是常數(shù)),則稱(chēng)數(shù)列{an}為二階線性遞推數(shù)列,且定義方程x2=px+q為數(shù)列{an}的特征方程,方程的根稱(chēng)為特征根; 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an均可用特征根求得:
①若方程x2=px+q有兩相異實(shí)根α,β,則數(shù)列通項(xiàng)可以寫(xiě)成an=c1αn+c2βn,(其中c1,c2是待定常數(shù));
②若方程x2=px+q有兩相同實(shí)根α,則數(shù)列通項(xiàng)可以寫(xiě)成an=(c1+nc2)αn,(其中c1,c2是待定常數(shù));
再利用a1=m1,a2=m2,可求得c1,c2,進(jìn)而求得an.根據(jù)上述結(jié)論求下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)a1=5,a2=13,an+2=5an+1-6an(n∈N*)時(shí),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)當(dāng)a1=1,a2=11,an+2=2an+1+3an+4(n∈N*)時(shí),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)當(dāng)a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*)時(shí),記Sn=a1Cn1+a2Cn2+…+anCnn,若Sn能被數(shù)8整除,求所有滿足條件的正整數(shù)n的取值集合.

解:(1)由an+2=5an+1-6an可知特征方程為:x2-5x+6=0,x1=2,x2=3…(3分)
所以 設(shè) an=c1•2n+c2•3n,由得到c1=c2=1,
所以 an=2n+3n; …(6分)
(2)由an+2=2an+1+3an+4可以得到(an+2+1)=2(an+1+1)+3(an+1)
設(shè)bn=an+1,則上述等式可以化為:bn+2=2bn+1+3bn…(8分)
b1=a1+1=2,b2=a2+1=12,所以bn+2=2bn+1+3bn對(duì)應(yīng)的特征方程為:x2-2x-3=0,x1=-1,x2=3…(10分)
所以令 bn=c1•3n+c2•(-1)n,由b1=2,b2=12可以得出
所以…(11分)
…(12分)
(3)同樣可以得到通項(xiàng)公式…(14分)
所以Sn=a1Cn1+a2Cn2+a3Cn3+…+anCnn===
…(14分)=3Sn+1-Sn
即 Sn+2=3Sn+1-Sn,n∈N*…(16分)
因此Sn+2除以8的余數(shù),完全由Sn+1,Sn除以8的余數(shù)確定,
因?yàn)閍1=1,a2=1所以 S1=C11a1=1,S2=C21a1+C22a2=3,S3=3S2-S1=9-1=8,S4=3S3-S2=24-3=21,S5=3S4-S3=63-8=55,S6=3S5-S4=165-21=144,S7=3S6-S5=432-55=377,S8=3S7-S6=1131-144=987,S9=3S8-S7=2961-377=2584,
由以上計(jì)算及Sn+2=3Sn+1-Sn可知,數(shù)列{Sn}各項(xiàng)除以8的余數(shù)依次是:1,3,0,5,7,0,1,3,0,5,7,0,…,它是一個(gè)以6為周期的數(shù)列,從而Sn除以8的余數(shù)等價(jià)于n除以3的余數(shù),所以n=3k,k∈N*,
即所求集合為:{n|n=3k,k∈N*}…(18分)
分析:(1)根據(jù)已知條件求出an+2=5an+1-6an的特征方程為:x2-5x+6=0及其特征根x1=2,x2=3,利用待定系數(shù)法求出
c1=c2=1,進(jìn)一步求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)先將已知條件變形為(an+2+1)=2(an+1+1)+3(an+1),設(shè)bn=an+1,構(gòu)造新數(shù)列{ bn},通過(guò)求特征方程的特征根求出數(shù)列{ bn}的通項(xiàng)公式,進(jìn)一步求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)先通過(guò)求特征方程的特征根的方法求出通項(xiàng)公式,代入Sn=a1Cn1+a2Cn2+…+anCnn,化簡(jiǎn)得到 Sn+2=3Sn+1-Sn,通過(guò)不完全歸納找規(guī)律得到結(jié)論.
點(diǎn)評(píng):本題考查通過(guò)題中的新定義求數(shù)列通項(xiàng)的方法,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是理解透題目中的新定義,在高考中場(chǎng)出現(xiàn)在小題中,本題屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+n,則通項(xiàng)an=
3×2n-1-n-1
3×2n-1-n-1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)m>3,對(duì)于數(shù)列{an} (n=1,2,…,m,…),令bk為a1,a2,…,ak中的最大值,稱(chēng)數(shù)列 {bn} 為{an} 的“遞進(jìn)上限數(shù)列”.例如數(shù)列2,1,3,7,5的遞進(jìn)上限數(shù)列為2,2,3,7,7.則下面命題中
①若數(shù)列{an} 滿足an+3=an,則數(shù)列{an} 的遞進(jìn)上限數(shù)列必是常數(shù)列;
②等差數(shù)列{an} 的遞進(jìn)上限數(shù)列一定仍是等差數(shù)列
③等比數(shù)列{an} 的遞進(jìn)上限數(shù)列一定仍是等比數(shù)列
正確命題的個(gè)數(shù)是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•煙臺(tái)二模)若數(shù)列{an}滿足an+12-
a
2
n
=d
(d為正常數(shù),n∈N+),則稱(chēng){an}為“等方差數(shù)列”.甲:數(shù)列{an}為等方差數(shù)列;乙:數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則甲是乙的(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•濰坊二模)已知函數(shù)f(x)=ax-
ln(1+x)
1+x
在x=0處取得極值.
(I)求實(shí)數(shù)a的值,并判斷,f(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f(an),求證:0<an+1<an≤l;
(Ⅲ)在(II)的條件.下,記sn=
a1
1+a1
+
a1a2
(1+a1)(1+a2)
+…+
a1a2an
(1+a1)(1+a2)…(1+an)
,求證:sn<1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x
x+1
,若數(shù)列{an}滿足:an>0,a1=1,an+1=[f(
an
)]2,
(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式數(shù)列an;
(II)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,證明:Sn<2.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案