Question

【題目】已知函數(shù)，直線.

（1）若直線與曲線有且僅有一個公共點，求公共點橫坐標(biāo)的值；

（2）若，求證： .

Answer 1

【答案】（1）公共點的橫坐標(biāo)為和；（2）見解析

【解析】試題分析：

(1)利用題意分類討論 和 可得公共點橫坐標(biāo)的值為和；

(2)利用不等式的特點構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合新函數(shù)的特點和題意可得結(jié)論成立.

試題解析：

解：（1）由，得，

易知時， 單調(diào)遞減， 時， 單調(diào)遞增，

根據(jù)直線的方程，可得恒過點，

①當(dāng)時，直線垂直軸，與曲線相交于一點，即焦點橫坐標(biāo)為；

②當(dāng)時，設(shè)切線，直線可化為，斜率，

又直線和曲線均過點，則滿足，

所以，兩邊約去后，

可得，化簡得，

切點橫坐標(biāo)，綜上所述，由①和②可知，該公共點的橫坐標(biāo)為和；

（2）①若時，欲證，

由題意，由問可知在上單調(diào)遞減，證對恒成立即可.

設(shè)函數(shù)，則，

即，

設(shè)，則，

易知時， 單調(diào)遞減， 時， 單調(diào)遞增，

當(dāng)時，有，且滿足，故，

即，又，則，

所以在上單調(diào)遞減，有，

即，所以.