Question

17．P為雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{{{a^2}-4}}=1（a＞2）$上位于第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且$OP=2\sqrt{2}$，令∠POx=θ，則θ的取值范圍是（0，$\frac{π}{12}$]．

Answer 1

分析 利用參數(shù)法求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)∠POx=θ，則θ為銳角且P（2$\sqrt{2}$cosθ，2$\sqrt{2}$sinθ），
所以$\frac{8co{s}^{2}θ}{{a}^{2}}$-$\frac{8si{n}^{2}θ}{{a}^{2}-4}$=1，
即有$\frac{4（1+cos2θ）}{{a}^{2}}$-$\frac{4（1-cos2θ）}{{a}^{2}-4}$=1，
化簡(jiǎn)得，cos2θ=$\frac{1}{8}$[（a²-2）+$\frac{12}{{a}^{2}-2}$]≥$\frac{1}{8}$•2$\sqrt{（{a}^{2}-2）•\frac{12}{{a}^{2}-2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a²-2=$\frac{12}{{a}^{2}-2}$，
即a²=2（$\sqrt{3}$+1）時(shí)取等號(hào)，
所以2θ≤$\frac{π}{6}$，
即有0＜θ≤$\frac{π}{12}$．
故答案為：（0，$\frac{π}{12}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，利用參數(shù)法結(jié)合基本不等式求最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．