我們在下面的表格內(nèi)填寫數(shù)值,先將第1行的所有空格填上1,再把一個首項為1,公比為q的等比數(shù)列{an}依次填入第一列的空格內(nèi),然后按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫其他空格.
第1列 第2列 第3列 第n列
第1行 1 1 1 1
第2行 q
第3行 q2
第n行 qn-1
(Ⅰ)設(shè)第2行的數(shù)依次為b1,b2,b3,…,bn,試用n、q表示b1+b2+b3+…+bn的值;
(Ⅱ)設(shè)第3列的數(shù)依次為c1,c2,c3,…,cn,求證:對于任意非零實數(shù)q,總有cm-1+cm+1>2cm成立(其中2≤m≤n-1且m為偶數(shù));
(Ⅲ)能否找到一個實數(shù)q的值,使得填完表格后,除第1列外,還有不同的兩列數(shù)的前三項各自依次成等比數(shù)列?請說明理由.
分析:(1)根據(jù)“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則,寫出b1、b2、b3的表達式,從而歸納出bn=(n-1)+q,利用等差數(shù)列前n項和公式即可算出用n、q表示b1+b2+b3+…+bn的式子;
(2)由題意,根據(jù)c1、c2、c3的表達式,歸納出cn用n、q表示的式子.將cm-1+cm+1與2cm作差,化簡整理得  cm-1+cm+1-2cm=qm>0,從而得到對于任意非零實數(shù)q,總有cm-1+cm+1>2cm成立;
(3)若第k+1列的前三項成等比數(shù)列,則由等比中項的定義列式可解出q=
1-k
2
,同理當?shù)趍+1列的前三項成等比數(shù)列時,有q=
1-m
2
成立.由k≠m可得以上兩個式子不能同時成立,因此無論怎樣的q都不能同時找出除1列外的其他兩列,使它們的前三項都成等比數(shù)列.
解答:解:(Ⅰ)∵b1=q,b2=1+q,b3=1+(1+q)=2+q,…,bn=(n-1)+q
∴b1+b2+…+bn=1+2+…+(n-1)+nq=
n(n-1)
2
+nq
…(3分)
(Ⅱ)c1=1,c2=1+(1+q)=2+q,c3=(2+q)+(1+q+q2)=3+2q+q2,…,
cn=n+(n-1)q+( n-2)q2+…+2qn-2+qn-1
∵cm-1+cm+1-2cm=[(m-1)+(m-2)q+(m-3)q2+…+2qm-3+qm-2]+
[(m+1)+mq+(m-1)q2+…+2qm-1+qm]-2[m+(m-1)q+(m-2)q2+…+2qm-2+qm-1]=qm
∴結(jié)合q為非零實數(shù)且m為偶數(shù),可得qm>0,從而得到cm-1+cm+1>2cm         …(6分)
(Ⅲ)設(shè)x1,x2,x3和y1,y2,y3分別為第k+1列和第m+1列的前三項,1≤k<m≤n-1,
則x1=1,x2=k+q,x3=(1+2+…+k)+kq+q2=
k(k+1)
2
+kq+q2
若第k+1列的前三項x1,x2,x3是等比數(shù)列,則x1x3=x22
k(k+1)
2
+kq+q2=(k+q)2
k2-k
2
+kq=0
,解得q=
1-k
2

同理,若第m+1列的前三項y1,y2,y3是等比數(shù)列,則q=
1-m
2

∵當k≠m時,
1-k
2
1-m
2

∴無論怎樣的q,都不能同時找出除1列外的其他兩列,使它們的前三項都成等比數(shù)列  …(10分)
點評:本題給出關(guān)于數(shù)列的二維表格,求第二行的第n項的通項公式并求前n項和,求第三列的通項滿足的條件并討論第k列的前三項成等比的問題.著重考查了等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式、不等式的證明與數(shù)列的應用等知識點,屬于中檔題.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2007•上海)我們在下面的表格內(nèi)填寫數(shù)值:先將第1行的所有空格填上1;再把一個首項為1,公比為q的數(shù)列{an}依次填入第一列的空格內(nèi);然后按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫其它空格.
第1列 第2列 第3列 第n列
第1行 1 1 1 1
第2行 q
第3行 q2
第n行 qn-1
(1)設(shè)第2行的數(shù)依次為B1,B2,…,Bn,試用n,q表示B1+B2+…+Bn的值;
(2)設(shè)第3列的數(shù)依次為c1,c2,c3,…,cn,求證:對于任意非零實數(shù)q,c1+c3>2c2
(3)請在以下兩個問題中選擇一個進行研究 (只能選擇一個問題,如果都選,被認為選擇了第一問).
①能否找到q的值,使得(2)中的數(shù)列c1,c2,c3,…,cn的前m項c1,c2,…,cm (m≥3)成為等比數(shù)列?若能找到,m的值有多少個?若不能找到,說明理由.
②能否找到q的值,使得填完表格后,除第1列外,還有不同的兩列數(shù)的前三項各自依次成等比數(shù)列?并說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:上海 題型:解答題

我們在下面的表格內(nèi)填寫數(shù)值:先將第1行的所有空格填上1;再把一個首項為1,公比為q的數(shù)列{an}依次填入第一列的空格內(nèi);然后按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫其它空格.
第1列 第2列 第3列 第n列
第1行 1 1 1 1
第2行 q
第3行 q2
第n行 qn-1
(1)設(shè)第2行的數(shù)依次為B1,B2,…,Bn,試用n,q表示B1+B2+…+Bn的值;
(2)設(shè)第3列的數(shù)依次為c1,c2,c3,…,cn,求證:對于任意非零實數(shù)q,c1+c3>2c2;
(3)請在以下兩個問題中選擇一個進行研究 (只能選擇一個問題,如果都選,被認為選擇了第一問).
①能否找到q的值,使得(2)中的數(shù)列c1,c2,c3,…,cn的前m項c1,c2,…,cm (m≥3)成為等比數(shù)列?若能找到,m的值有多少個?若不能找到,說明理由.
②能否找到q的值,使得填完表格后,除第1列外,還有不同的兩列數(shù)的前三項各自依次成等比數(shù)列?并說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

21.我們在下面的表格內(nèi)填寫數(shù)值:先將第1行的所有空格填上1;再把一個首項為1,公比為的數(shù)列依次填入第一列的空格內(nèi);然后按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫其它空格.

 

第1列

第2列

第3列

第1行

1

1

1

1

第2行

 

 

 

 

第3行

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1) 設(shè)第2行的數(shù)依次為,試用表示的值;

(2) 設(shè)第3列的數(shù)依次為,求證:對于任意非零實數(shù),;

(3) 請在以下兩個問題中選擇一個進行研究 (只能選擇一個問題,如果都選,被認為選擇了第一問).

    ① 能否找到的值,使得(2) 中的數(shù)列的前 () 成為等比數(shù)列?若能找到,m的值有多少個?若不能找到,說明理由.

    ② 能否找到的值,使得填完表格后,除第1列外,還有不同的兩列數(shù)的前三項各自依次成等比數(shù)列?并說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:2007年上海市春季高考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

我們在下面的表格內(nèi)填寫數(shù)值:先將第1行的所有空格填上1;再把一個首項為1,公比為q的數(shù)列{an}依次填入第一列的空格內(nèi);然后按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫其它空格.
第1列第2列第3列第n列
第1行1111
第2行q
第3行q2
第n行qn-1
(1)設(shè)第2行的數(shù)依次為B1,B2,…,Bn,試用n,q表示B1+B2+…+Bn的值;
(2)設(shè)第3列的數(shù)依次為c1,c2,c3,…,cn,求證:對于任意非零實數(shù)q,c1+c3>2c2;
(3)請在以下兩個問題中選擇一個進行研究 (只能選擇一個問題,如果都選,被認為選擇了第一問).
①能否找到q的值,使得(2)中的數(shù)列c1,c2,c3,…,cn的前m項c1,c2,…,cm (m≥3)成為等比數(shù)列?若能找到,m的值有多少個?若不能找到,說明理由.
②能否找到q的值,使得填完表格后,除第1列外,還有不同的兩列數(shù)的前三項各自依次成等比數(shù)列?并說明理由.

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