Question

已知將一枚質地不均勻的硬幣拋擲三次，三次正面均朝上的概率為

1

27

．
（1）求拋擲這一枚質地不均勻的硬幣三次，僅有一次正面朝上的概率；
（2）拋擲這一枚質地不均勻的硬幣三次后，再拋擲另一枚質地均勻的硬幣一次，記四次拋擲后正面朝上的總次數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列及期望Eξ．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：應用題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）由硬幣拋擲三次，三次正面均朝上的概率為

1

27

，設出擲一次這樣的硬幣，正面朝上的概率為r，由獨立重復試驗公式列出方程，解方程得到r的值．再由獨立重復試驗公式得到結果．
（2）拋擲一枚質地均勻的硬幣四次拋擲后正面朝上的總次數(shù)為ξ，由題意知ξ的可能取值是0、1、2、3、4，根據(jù)獨立重復試驗公式得到結果，寫出分布列，算出期望．

解答： 解：（1）設擲一次這樣的硬幣，正面朝上的概率為r，
則依題意有：

C

3 3

•r3=

1

27

．
可得r=

1

3

．
∴拋擲這一枚質地不均勻的硬幣三次，僅有一次正面朝上的概率為

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)2=

4

9

；
（2）由題設知ξ的取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

C

0 3

•(

2

3

)3•

1

2

=

4

27

，
P（ξ=1）=

C

0 3

•(

2

3

)3•

1

2

+

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)2•

1

2

=

10

27

，
P（ξ=2）=

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)2•

1

2

+

C

2 3

•(

1

3

)2•

2

3

•

1

2

=

9

27

，
P（ξ=3）=

C

2 3

•(

1

3

)2•

2

3

•

1

2

+

C

3 3

•(

1

3

)3•

1

2

=

7

54

，
P（ξ=4）=

C

3 3

•(

1

3

)3•

1

2

=

1

54

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	4 27	10 27	9 27	7 54	1 54

∴Eξ=0×

4

27

+1×

10

27

+2×

9

27

+3×

7

54

+4×

1

54

=

3

2

．

點評：本題考查獨立重復試驗概率公式的運用，考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，確定變量的取值，求出相應的概率是關鍵．