Question

如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與平面α所成的角為，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，若AB=3A'B'，則AB與平面β所成的角的正弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：連接AB′，BA′，由題設知∠B′AB=，AA′⊥β，BB′⊥α，∠ABA′是AB與平面β所成的角，由此能求出AB與平面β所成的角的正弦值．
解答：解：連接AB‘，BA’，
∵平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與平面α所成的角為，
過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，
∴∠B′AB=，AA′⊥β，BB′⊥α，∠ABA′是AB與平面β所成的角，
設A′B′=a，∵AB=3A'B'，∴AB=3a，
設AB′=BB′=x，則2x²=9a²，解得AB′=BB′=，
∴，AA′==，
∴sin∠ABA′==．
故選A．
點評：本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．