已知橢圓的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,則內(nèi)切圓的圓面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(1);(2)圓的面積的最大值為,直線方程.
解析試題分析:本題考查橢圓的方程,直線與橢圓的位置關(guān)系及研究三角形內(nèi)切圓面積問題.(1)由橢圓的離心率和左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為,建立方程組,求出、的值,從而得出橢圓方程;(2)是探索性問題,研究是否存在過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,使得內(nèi)切圓的圓面積最大的問題,求解分三個(gè)步驟,根據(jù)條件得出面積的關(guān)系式,將用直線的斜率的倒數(shù)表示,再通過函數(shù)知識(shí)求面積的最大值;由此求出直線的方程;將由面積關(guān)系式得到的面積的最大值代入面積關(guān)系式,即可得到圓的半徑的最大值,進(jìn)而求出圓的面積的最大值.
試題解析:(1)設(shè)橢圓左焦點(diǎn),則,解得,,
故所求橢圓方程為.
(2)設(shè),,令,,設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,則的周長為,,
因此若最大,則最大,
又,由題設(shè)知直線的斜率不為0,可設(shè)直線的方程為,
聯(lián)立方程組消去整理得,
由根與系數(shù)的關(guān)系得,,
,
即,令,則,由此得,
令,即在上單調(diào)遞增,
,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,),
這時(shí)所求內(nèi)切圓的面積的最大值為,
故直線的方程為,內(nèi)切圓的面積的最大值為.
考點(diǎn):橢圓方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,三角形的內(nèi)切圓面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,且經(jīng)過點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn),直線與橢圓交于兩點(diǎn).若△是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,試求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,其中左焦點(diǎn)(-2,0).
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線段AB的中點(diǎn)M在圓x2+y2=1上,求m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線的焦點(diǎn)為F,過F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn),其準(zhǔn)線與x軸交于K點(diǎn).
(1)求證:KF平分∠MKN;
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線MO、NO分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)P、Q,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,設(shè)P是圓x2+y2=25上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是P在x軸上的投影,M為PD上一點(diǎn),且|MD|=|PD|,當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,過點(diǎn)的兩直線與拋物線相切于A、B兩點(diǎn), AD、BC垂直于直線,垂足分別為D、C.
(1)若,求矩形ABCD面積;
(2)若,求矩形ABCD面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,直線y=kx+b與橢圓交于A、B兩點(diǎn),記△AOB的面積為S.
(1)求在k=0,0<b<1的條件下,S的最大值;
(2)當(dāng)|AB|=2,S=1時(shí),求直線AB的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線l:與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證: 直線l過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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