Question

12．已知函數(shù)f（x）=log₂（16^x+k）-2x （k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k；
（2）若不等式m-1≤f（x）≤2m+log₂17在x∈[-1，$\frac{1}{2}$]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由偶函數(shù)的定義f（-x）=f（x）恒成立可求；
（2）不等式m-1≤f（x）≤2m+log₂17在x∈[-1，$\frac{1}{2}$]上恒成立，求出函數(shù)f（x）最值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=log₂（16^x+k）-2x=log₂（4^x+$\frac{k}{{4}^{x}}$），
∴f（-x）=log₂（4^-x+$\frac{k}{{4}^{-x}}$）=log₂（k4^x+4^-x），
由f（-x）=f（x）恒成立，得k=1
（Ⅱ）∵log₂（4^x+4^-x），令t=4^x，由x∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
∴t∈[$\frac{1}{4}$，2]，
∵函數(shù)y=t+$\frac{1}{t}$在[$\frac{1}{4}$，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=1時，即x=0時，函數(shù)f（x）有最小值f（0）=1，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{4}$時，即x=-1時，函數(shù)f（x）有最大值f（-1）=log₂$\frac{17}{4}$，
∵m-1≤f（x）≤2m+log₂17在x∈[-1，$\frac{1}{2}$]上恒成立，
∴m-1≤1且log₂$\frac{17}{4}$≤2m+log₂17．
解得-1≤m≤2
故m的取值范圍為[-1，2]

點評 本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)、函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，恒成立問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．