Question

在軸同側(cè)的兩個(gè)圓：動(dòng)圓和圓外切（），且動(dòng)圓與軸相切，求

（1）動(dòng)圓的圓心軌跡方程L;

（2）若直線與曲線L有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求之值。

Answer 1

⑴,動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，且頂點(diǎn)在點(diǎn)（不包含該點(diǎn)）的拋物線，得軌跡方程

⑵   

解析:

（1）由可得

由N，以及兩圓在軸同側(cè)，可知?jiǎng)訄A圓心在軸上方，設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為, 則有

整理得到動(dòng)圓圓心軌跡方程  。  ……………………（5分）

另解  由已知可得，動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，且頂點(diǎn)在點(diǎn)（不包含該點(diǎn)）的拋物線，得軌跡方程

，即…………………（5分）

（2）聯(lián)立方程組                ①

                      ②

消去得     ，

由 整理得

                          ③

從③可知 。 故令，代入③可得

 再令，代入上式得

                         …………………（10分）

同理可得，�？闪�代入③可得

               ④

對(duì)④進(jìn)行配方，得  

對(duì)此式進(jìn)行奇偶分析，可知均為偶數(shù)，所以為8的倍數(shù)，所以。令，則 。

所以               …………………………………（15分）

僅當(dāng)時(shí)，為完全平方數(shù)。于是解得

        。 …………………（20分）