8．已知數(shù)列{an}的通項為an=log（n+1）（n+2）（n∈N*），我們把使乘積a1•a2•a3…an為整數(shù)的n叫做“優(yōu)數(shù)”，則在（1，2012]內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為2026．

分析 在區(qū)間（1，2012]中找出所有的“優(yōu)數(shù)”之后用數(shù)列的求和公式進行計算．

解答 解：∵an=logn+1（n+2）
∴a1•a2…an=log23•log34…logn+1（n+2）
=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$•$\frac{lg5}{lg4}$ …$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$=$\frac{lg（n+2）}{lg2}$=log2（n+2）
若使log2（n+2）為整數(shù)，則n+2=2k
在（1，2012]內(nèi)的所有整數(shù)分別為：22-2，23-2，…，210-2
∴所求的數(shù)的和為22-2+23-2+…+210-2=$\frac{4（1{-2}^{9}）}{1-2}$-18=2026．
故答案為：2026．

點評 本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了數(shù)列和的求法，把a1•a2…an化簡轉(zhuǎn)化為對數(shù)的運算是解答的關(guān)鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．

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