Question

18．f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+3x-（a+3）lnx（a＞-$\frac{3}{2}$）
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程，
（2）討論f（x）的單調(diào)性，
（3）?a∈[1，2]，?x∈[1，3]，f（x）≥ta²恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程；
（2）求出導數(shù)，并分解因式，討論當a=0，a＞0，-$\frac{3}{2}$＜a＜0時，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（3）對任意a∈[1，2]及x∈[1，3]時，恒有f（x）≥ta²恒成立等價于f（x）_min≥ta²，由（2）可得f（x）的單調(diào)性，可得最小值，再由參數(shù)分離，可得t≤$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2a}$，a∈[1，2]時恒成立，令g（a）=$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2a}$，求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，求得最小值，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$x²+3x-4lnx的導數(shù)為f′（x）=x+3-$\frac{4}{x}$，
可得曲線y=f（x）在x=1處的切線斜率為1+3-4=0，切點為（1，$\frac{7}{2}$），
故曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y-$\frac{7}{2}$=0（x-1），
即有y=$\frac{7}{2}$；
（2）f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+3x-（a+3）lnx（a＞-$\frac{3}{2}$）的導數(shù)為：
f′（x）=ax+3-$\frac{a+3}{x}$=$\frac{（x-1）（ax+a+3）}{x}$，
當a=0時，f′（x）=$\frac{3（x-1）}{x}$，當0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當x＞1時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
當a＞0時，-$\frac{a+3}{a}$＜1，可得當0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當x＞1時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
當-$\frac{3}{2}$＜a＜0時，-$\frac{a+3}{a}$＞1，可得當0＜x＜1或x＞-$\frac{a+3}{a}$時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當1＜x＜-$\frac{a+3}{a}$，時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
綜上可得，當a≥0時，f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
當-$\frac{3}{2}$＜a＜0時，f（x）在（0，1），（-$\frac{a+3}{a}$，+∞）遞減；在（1，-$\frac{a+3}{a}$）遞增．
（3）由題意可知，對任意a∈[1，2]及x∈[1，3]時，恒有f（x）≥ta²恒成立等價于
f（x）_min≥ta²，
由（2）可得當a≥0時，f（x）在x∈[1，3]上遞增，f（x）的最小值為f（1）=$\frac{1}{2}$a+3，
任意a∈[1，2]時，$\frac{1}{2}$a+3≥ta²恒成立，
∴t≤$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2a}$，a∈[1，2]時恒成立，
令g（a）=$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2a}$，由g′（a）=-$\frac{6}{{a}^{3}}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{a}^{2}}$＜0，
可得g（a）在[1，2]遞減，即有g(shù)（a）的最小值為g（2）=1，
則實數(shù)t的取值范圍為t≤1．

點評 本題考查利用導數(shù)研究切線方程、函數(shù)的單調(diào)性及最值及恒成立問題，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，綜合性強．