Question

已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），且當x＞1時，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（3）=-1，求f（x）在[2，9]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）由定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），當x₁=x₂時，能求出f（1）．
（2）設(shè)x₁＞x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），由x₁＞x₂，知

x1

x2

＞1，當x＞1時，f（x）＜0，由此能推導(dǎo)出f（x）在區(qū)間（0，+∞）是減函數(shù)．
（3）由f（1）=O，f（3）=-1，知f（

1

3

）=f（1）-f（3）=1，f（9）=f（3÷

1

3

）=f（3）-f（

1

3

）=-2，由f（x）在區(qū)間（0，+∞）是減函數(shù)，能求出f（x）在[2，9]上的最小值．

解答：解：（1）∵定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），
∴當x₁=x₂時，f（1）=O．
（2）f（x）是減函數(shù)．
證明：設(shè)x₁＞x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），
∵x₁＞x₂，∴

x1

x2

＞1，
∵當x＞1時，f（x）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）是減函數(shù)．
（3）∵f（1）=O f（3）=-1，
∴f（

1

3

）=f（1）-f（3）=0-（-1）=1，
∴f（9）=f（3÷

1

3

）=f（3）-f（

1

3

）=-1-1=-2，
∵f（x）在區(qū)間（0，+∞）是減函數(shù)，
∴f（x）在[2，9]上的最小值為f（9）=-2．

點評：本題考查抽象函數(shù)的函數(shù)值、單調(diào)性、最小值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．