Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 滿足Sn= an﹣n（t＞0且t≠1，n∈N*）
（1）證明：數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（用t，n表示）
（2）當(dāng)t=2時(shí)，令cn= ，證明 ≤c1+c2+c3+…+cn＜1．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn= an﹣n（t＞0且t≠1，n∈N*），

∴由題意當(dāng)n=1時(shí)，a1=t﹣1，

∵Sn= an﹣n，①

∴Sn+1= an+1﹣（n+1），②

②﹣①得an+1=tan+t﹣1，即an+1+1=t（an+1），

∴{an+1}是以t為首項(xiàng)，以t為公比的等比數(shù)列

∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

（2）證明： = =

令Tn=c1+c2+c3+…+cn，

則Tn=（1﹣ ）+（ ）+（ ）+…+（ ）=1﹣ ．

∵Tn單調(diào)遞增，∴當(dāng)n=1時(shí)，（Tn）min= ，當(dāng)n趨向無窮大時(shí)，Tn趨近1．

∴ ≤c1+c2+c3+…+cn＜1

【解析】（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=t﹣1，an+1+1=t（an+1），由此能證明{an+1}是以t為首項(xiàng)，以t為公比的等比數(shù)列，并能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．（2） = ，利用裂項(xiàng)求和法求出Tn=c1+c2+c3+…+cn=1﹣ ，由此能證明 ≤c1+c2+c3+…+cn＜1．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式），掌握通項(xiàng)公式：即可以解答此題．