8.四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ),AB=1,BC=3,CD=DA=2.
(1)求角C;
(2)求四邊形ABCD的面積.

分析 (1)分別在△ABD和△BCD中使用余弦定理得出BD,列方程解出cosC;
(2)分別計(jì)算△ABD和△BCD的面積再相加.

解答 解:(1連接BD,
在△ABD中,由余弦定理得:BD2=AB2+AD2-2AB•ADcosA=5-4cosA,
在△BCD中,由余弦定理得:BD2=BC2+CD2-2BC•CDcosC=13-12cosC,
∴13-12cosC=5-4cosA,
∵A+C=π,∴cosA=-cosC,
∴13-12cosC=5+4cosC,
則cosC=$\frac{1}{2}$,
∴C=$\frac{π}{3}$.
(2)∵A+C=π,∴sinA=sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴SABD=$\frac{1}{2}AB•AD•sinA$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,S△BCD=$\frac{1}{2}BC•CD•sinC$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
∴四邊形ABCD的面積為SABD+S△BCD=2$\sqrt{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理解三角形,三角形的面積公式,屬于中檔題.

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