Question

8．函數(shù)f（x）=sin（πx）-$\frac{1}{x+1}$，x∈[-4，2]的所有零點之和為-4．

Answer 1

分析 由題意函數(shù)y=sin（πx）-$\frac{1}{x+1}$，x∈[-4，2]的零點，即sin（πx）=$\frac{1}{x+1}$的根；作出函數(shù)y=sin（πx）與y=$\frac{1}{x+1}$的圖象結(jié)合函數(shù)的對稱性，可得答案．

解答 解：函數(shù)y=sin（πx）-$\frac{1}{x+1}$，x∈[-4，2]的零點，即sin（πx）=$\frac{1}{x+1}$的根；
作出函數(shù)y=2sin（πx）與y=$\frac{1}{x+1}$在x∈[-4，2]上的圖象，如下圖所示：

由圖可得：兩個函數(shù)的圖象有4個不同的交點，
且兩兩關(guān)于點（-1，0）對稱，
故四個點橫坐標(biāo)之和為-4，
即函數(shù)f（x）=sin（πx）-$\frac{1}{x+1}$，x∈[-4，2]的所有零點之和為-4，
故答案為：-4．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．