Question

有人玩擲硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正反面的概率都是

1

2

，棋盤上標(biāo)有第0站，第1站，…，第100站，一枚棋子開(kāi)始在第0站，棋手每擲一次硬幣棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出正面，棋子向前跳一站（從n到n+1），若擲出反面，棋子向前跳兩站（從n到n+2），直到棋子跳到第99站（勝利大本營(yíng)），或跳到第100站（失敗集中營(yíng)）時(shí)該游戲結(jié)束，設(shè)棋子跳到第n站的概率為P（n）；
（1）求P（1），P（2）；
（2）求證：數(shù)列{P（n）-P（n-1）}是等比數(shù)列（n∈N^﹡，n≤99）；
（3）求P（99）及P（100）的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，則P（1）即棋子跳到第一站，有一種情況，即擲出正面，進(jìn)而可得答案，P（2）即棋子跳到第2站，有2種情況，即兩次擲出正面或一次擲出反面，即可得答案；
（2）根據(jù)題意，棋子要到第n站，有兩種情況，由第（n-1）站跳到，即第（n-1）站時(shí)擲出正面，或由第（n-2）站跳到，即第（n-2）站時(shí)擲出反面，進(jìn)而可得P（n）=

1

2

P（n-1）+

1

2

P（n-2）；變形可得P（n）-P（n-1）=-

1

2

[P（n-1）-P（n-2）]，由等比數(shù)列的判斷方法即可證明；
（3）結(jié)合（1）（2）可得，P（n）=[P（n）-P（n-1）]+[P（n）-P（n-1）]+[P（n-1）-P（n-2）]+…+[P（2）-P（1）]+P（1），進(jìn)而可得P（n）的表達(dá)式，代入數(shù)字，可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，棋子跳到第n站的概率為P（n），
則P（1）即棋子跳到第一站，有一種情況，即擲出正面，故P（1）=

1

2

，
則P（2）即棋子跳到第2站，有2種情況，即兩次擲出正面或一次擲出反面，則P（2）=

1

2

×

1

2

+

1

2

=

3

4

，
（2）根據(jù)題意，棋子要到第n站，有兩種情況，（2≤n≤99）
①由第（n-1）站跳到，即第（n-1）站時(shí)擲出正面，其概率為

1

2

P（n-1），
②由第（n-2）站跳到，即第（n-2）站時(shí)擲出反面，其概率為

1

2

P（n-2），
則P（n）=

1

2

P（n-1）+

1

2

P（n-2），
進(jìn)而可得P（n）-P（n-1）=-

1

2

[P（n-1）-P（n-2）]，（2≤n≤99，n∈N），
故數(shù)列{P（n）-P（n-1）}是等比數(shù)列，
（3）由（1）可得，P（2）-P（1）=

1

4

，
由（2）可得，{P（n）-P（n-1）}是公比為-

1

2

的等比數(shù)列，
進(jìn)而可得：P（n）=[P（n）-P（n-1）]+[P（n）-P（n-1）]+[P（n-1）-P（n-2）]+…+[P（2）-P（1）]+P（1）
=

1

6

[1-（-

1

2

）ⁿ]+

1

2

，
故P（99）=

1

3

[2-（

1

2

）⁹⁹]；
P（100）=

1

3

[1+（

1

2

）⁹⁹]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式與等比數(shù)列的判定及應(yīng)用，有一定難度，是高考的方向，平時(shí)注意這方面的訓(xùn)練．