Question

如圖，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，EA=FC=AB=a．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面BCF；
（Ⅱ）證明五點A、B、C、E、F在同一個球面上，并求A、F兩點的球面距離．

Answer 1

考點：球面距離及相關計算,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）證明AB⊥平面BCF，只需證明AB⊥BC，AB⊥FC；
（Ⅱ）四邊形ACFE是矩形知OA=OE=OF=OC=OB=

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AF，即可證明五點A、B、C、E、F在同一個球面上，A、F兩點之間的球面距離就是半個大圓的弧長，可求A、F兩點的球面距離．

解答： 證明：（Ⅰ）∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
又EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，∴AB⊥FC，
∵BC∩FC=C，
∴AB⊥平面BCF；
（Ⅱ）由（Ⅰ）△ABF為直角三角形，且∠ABF=90°，
記EC與AF交于點O，則由四邊形ACFE是矩形知OA=OE=OF=OC=OB=

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AF，
故五點A、B、C、E、F在以O為球心，AF為直徑的球面上，
故A、F兩點之間的球面距離就是半個大圓的弧長，是

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πa．

點評：本題考查球面距離及相關計算，考查直線與平面垂直的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．