Question

9．在凸四邊形ABCD中，BD=2，且$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=0$，$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}）•（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}）=5$，則四邊形ABCD的面積為3．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$表示出括號(hào)內(nèi)的和向量，化簡(jiǎn)得出AC，從而可求得四邊形的面積．

解答 解：∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=0$，∴AC⊥BD，
∵$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}）•（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}）=5$，
∴（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$）•（$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$）=（$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}$）•（$\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}$）=${\overrightarrow{AC}}^{2}$-${\overrightarrow{BD}}^{2}$=5，
∴$\overrightarrow{AC}$²=${\overrightarrow{BD}}^{2}$+5=9，∴AC=3．
∴四邊形ABCD的面積S=$\frac{1}{2}×AC×BD$=$\frac{1}{2}×3×2$=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．