18.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{2}$x2+lnx.
(1)求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值、最小值;
(2)當x∈[1,+∞),比較f(x)與g(x)=$\frac{2}{3}$x3的大。

分析 (1)依題意,可得f′(x)=x+$\frac{1}{x}$>0,故函數(shù)f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,從而可求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值、最小值;
(2)令F(x)=f(x)-g(x)=$\frac{1}{2}$x2+lnx-$\frac{2}{3}$x3,利用導數(shù)法可得F(x)在區(qū)間(1,+∞)是減函數(shù),從而可比較f(x)與g(x)=$\frac{2}{3}$x3的大。

解答 解:(1)∵x>0,∴f′(x)=x+$\frac{1}{x}$>0,
∴f(x)=$\frac{1}{2}$x2+lnx在(0,+∞) 上是增函數(shù),∴函數(shù)f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,
∴f(x)max=f(e)=$\frac{1}{2}$e2+1,f(x)min=f(1)=$\frac{1}{2}$.(5分)
(2)令F(x)=f(x)-g(x)=$\frac{1}{2}$x2+lnx-$\frac{2}{3}$x3,
F′(x)=x+$\frac{1}{x}$-2x2=$\frac{{x}^{2}+1-{2x}^{3}}{x}$=$\frac{(1-x)({2x}^{2}+x+1)}{x}$,
當0<x<1時,F(xiàn)′(x)>0;當x>1,F(xiàn)′(x)<0;
∴F(x)在(0,1)上是增函數(shù),在(1,+∞)是減函數(shù);
F(x)極大值為F(x)的最大值,F(xiàn)(x)max=F(1)=$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{3}$<0;
∴當x∈[1,+∞)時,F(xiàn)(x)<0,即f(x)<g(x).(12分)

點評 本題考查利用導數(shù)研究閉區(qū)間上函數(shù)的最值,考查函數(shù)思想與運算求解能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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A.向左平移$\frac{π}{6}$個單位B.向右平移$\frac{π}{6}$個單位
C.向左平移$\frac{π}{3}$個單位D.向右平移$\frac{π}{3}$個單位

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A.①簡單隨機抽樣②系統(tǒng)抽樣B.①分層抽樣  ②簡單隨機抽樣
C.①系統(tǒng)抽樣②分層抽樣D.①分層抽樣②系統(tǒng)抽樣

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6.若a=2${\;}^{\frac{π}{10}}}$,b=logπ3,c=log2sin$\frac{π}{5}$,則(  )
A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

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(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
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3.根據(jù)如表樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=bx+a,若a=5.4,則x每增加1個單位,y就( 。
x34567
y42.5-0.50.5-2
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