已知數(shù)列an滿足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=
n
2
(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng);
(Ⅱ)若bn=
n
an
求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn
分析:(Ⅰ)利用a1+2a2+2a3…+2n-1an=
n
2
,再寫一式,兩式相減,即可得到結(jié)論;
(Ⅱ)利用錯(cuò)位相減法,可求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)Sn和.
解答:解:(Ⅰ)n=1時(shí),a1=
1
2

a1+2a2+2a3…+2n-1an=
n
2
…..(1)
∴n≥2時(shí),a1+2a2+2a3…+2n-2an-1=
n-1
2
….(2)
(1)-(2)得2n-1an=
1
2
an=
1
2n

a1=
1
2
也適合上式,∴an=
1
2n

(Ⅱ)bn=n•2n,∴Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n(3)
2Sn=1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1(4)
(3)-(4)可得-Sn=1•2+1•22+1•23+…+1•2n-n•2n+1
=
2(1-2n)
1-2
-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1

Sn=(n-1)•2n+1+2
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列遞推式,考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和,解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項(xiàng),利用錯(cuò)位相減法求和.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列an滿足a1=1,且4an+1-anan+1+2an=9(n∈N*
(1)求a1,a2,a3,a4的值;
(2)由(1)猜想an的通項(xiàng)公式,并給出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列an滿足a1=2,
an+1
2an
=1+
1
n
;
(Ⅰ)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{
an
n
}
的前n項(xiàng)和為Sn,試比較an-Sn與2的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列an滿足a1=1,n≥2時(shí),
an
an-1
=
2-3an
an-1+2

(1)求證:數(shù)列{
1
an
}
為等差數(shù)列;
(2)求{
3n
an
}
的前n項(xiàng)和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列an滿足a1+a2+…+an=n2(n∈N*).
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
(2)對(duì)任意給定的k∈N*,是否存在p,r∈N*(k<p<r)使
1
ak
,  
1
ap
,  
1
ar
成等差數(shù)列?若存在,用k分別表示p和r(只要寫出一組);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)證明:存在無(wú)窮多個(gè)三邊成等比數(shù)列且互不相似的三角形,其邊長(zhǎng)為an1,an2,an3

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