Question

某地區(qū)因干旱缺水，政府向市民宣傳節(jié)約用水，并進行廣泛動員，三個月后，統(tǒng)計部門在一個小區(qū)隨機抽取了100戶家庭，分別調(diào)查了他們在政府動員前后三個月的平均用水量（單位：噸），將所得數(shù)據(jù)分組，畫出頻率分布直方圖（如圖所示）

（1）已知該小區(qū)共有居民10000戶，在政府進行節(jié)水動員前平均每月用水量是8.96×10⁴噸，請估計該小區(qū)在政府動員后比動員前平均每月節(jié)約用水多少噸；
（2）為了解動員前后市民的節(jié)水情況．媒體計劃在上述家庭中，從政府動員前月均用水量在[12，16）范圍內(nèi)的家庭中選出5戶作為采訪對象，其中在[14，16）內(nèi)的抽到X戶，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）將直方圖中的每個組中值乘以每個矩形的面積相加即可求出所求；
（2）由動員前的直方圖計算得月平均用水量在[12，14）范圍內(nèi)的家庭有6戶，在[14，16）內(nèi)的有3戶，因此X可能取值有0，1，2，3，分別求出相應的概率，最后根據(jù)數(shù)學期望的公式解之即可．

解答：解：（1）根據(jù)直方圖估計該小區(qū)在政府動員后平均每戶居民的月均用水量為
1×0.015+3×0.03+5×0.105+7×0.2+9×0.12+11×0.03）×2=6.88（噸）
于是可估計該小區(qū)在政府動員后比動員前平均每月可節(jié)約用水8.98×10⁴-6.88×10⁴=2.08×10⁴
（2）由動員前的直方圖計算得月平均用水量在[12，14）范圍內(nèi)的家庭有6戶，在[14，16）內(nèi)的有3戶，因此X可能取值有0，1，2，3，
P（X=0）=

C 5 6

C 5 9

=

6

126

=

1

21

；
P（X=1）=

C 1 3 C 4 6

C 5 9

=

45

126

=

5

14

；
P（X=2）=

C 2 3 C 3 6

C 5 9

=

60

126

=

10

21

；
P（X=3）=

C 3 3 C 2 6

C 5 9

=

15

126

=

5

42

∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P	1 21	5 14	10 21	5 42

∴EX=1×

5

14

+2×

10

21

+3×

5

42

=

5

3

點評：本題主要考查了頻率分布直方圖，以及離散型隨機變量的期望，同時考查了計算能力，屬于基礎題．