【題目】如圖,已知四棱錐的底面是菱形, 平面, ,點為的中點.
(1)求證: 平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】試題分析:
(1)由題意可證得,結(jié)合直線與平面平行的判定定理即可證得平面;
(2)建立空間直角坐標系,結(jié)合半平面的法向量可得二面角的余弦值是
試題解析:
(1)連結(jié)與交于點,連結(jié).
∵是菱形,∴是的中點,∵點為的中點,∴.∵平面, 平面,∴平面.
(2)∵是菱形,且,∴是正三角形.如圖,以點為坐標原點,線段的垂直平分線所在直線為軸, 所在直線為軸, 所在直線為軸,建立空間直角坐標系,令,則.
所以,設(shè)平面的一個法向量為,由,得 ,令,則,∴,
∵平面, 平面,∴.
∵,∴.
∵是菱形,∴.
∵,∴平面.
∴是平面的一個法向量, ,∴,
∴二面角的余弦值是.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下面程序的功能是( )
A. 求1×2×3×4×…×10 00的值
B. 求2×4×6×8×…×10 000的值
C. 求3×5×7×9×…×10 001的值
D. 求滿足1×3×5×…×n>10 000的最小正整數(shù)n
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)求經(jīng)過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點且與直線3x+y-1=0平行的直線l的方程;
(2)求經(jīng)過兩直線l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交點P,且與直線l3:3x-4y+5=0垂直的直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】學校為了了解高三學生每天自主學習中國古典文學的時間,隨機抽取了高三男生和女生各50名進行問卷調(diào)查,其中每天自主學習中國古典文學的時間超過3小時的學生稱為“古文迷”,否則為“非古文迷”,調(diào)查結(jié)果如表:
古文迷 | 非古文迷 | 合計 | |
男生 | 26 | 24 | 50 |
女生 | 30 | 20 | 50 |
合計 | 56 | 44 | 100 |
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷能否有的把握認為“古文迷”與性別有關(guān)?
(2)先從調(diào)查的女生中按分層抽樣的方法抽出5人進行理科學習時間的調(diào)查,求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人數(shù);
(3)現(xiàn)從(2)中所抽取的5人中再隨機抽取3人進行體育鍛煉時間的調(diào)查,記這3人中“古文迷”的人數(shù)為,求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.
參考數(shù)據(jù):
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
0.455 | 0.708 | 1.321 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
參考公式: ,其中.
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【題目】為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量,采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件,測量產(chǎn)品中微量元素,的含量(單位:毫克).下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù):
當產(chǎn)品中的微量元素,滿足且時,該產(chǎn)品為優(yōu)等品
(1)若甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共98件,用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量;
(2)從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中,隨機抽取2件,求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】甲、乙二人同時從地趕住地,甲先騎自行車到兩地的中點再改為跑步;乙先跑步到兩地的中點再改為騎自行車,最后兩人同時到達地.已知甲騎自行車比乙騎自行車的速度快,且兩人騎車的速度均大于跑步的速度.現(xiàn)將兩人離開地的距離與所用時間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示如下:
則上述四個函數(shù)圖象中,甲、乙兩人運行的函數(shù)關(guān)系的圖象應該分別是( )
A. 圖①、圖② B. 圖①、圖④ C. 圖③、圖② D. 圖③、圖④
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知集合.對于, ,定義與之間的距離為.
(Ⅰ)寫出中的所有元素,并求兩元素間的距離的最大值;
(Ⅱ)若集合滿足: ,且任意兩元素間的距離均為2,求集合中元素個數(shù)的最大值并寫出此時的集合;
(Ⅲ)設(shè)集合, 中有個元素,記中所有兩元素間的距離的平均值為,證明.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點,且離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓交于、兩點,以為對角線作正方形,記直線與軸的交點為,問、兩點間距離是否為定值?如果是,求出定值;如果不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某省電視臺為了解該省衛(wèi)視一檔成語類節(jié)目的收視情況,抽查東西兩部各個城市,得到觀看該節(jié)目的人數(shù)(單位:千人),如莖葉圖所示,其中一個數(shù)字被污損.
(1)求東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的概率;
(2)隨著節(jié)目的播出,極大激發(fā)了觀眾對成語知識學習積累的熱情,從中獲益匪淺.現(xiàn)從觀看該節(jié)目的觀眾中隨機統(tǒng)計了位觀眾的周均學習成語知識的時間(單位:小時)與年齡(單位:歲),并制作了對照表(如下表所示),
年齡x(歲) | ||||
周均學習成語知識時間y(小時) |
由表中數(shù)據(jù),試求線性回歸方程,并預測年齡為歲觀眾周均學習成語知識時間.
參考公式:.
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