如圖,正△ABC的邊長為4,CD是AB邊上的高,E,F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點(diǎn),現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.

(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系,并說明理由;

(2)求棱錐E-DFC的體積;

(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P,使AP⊥DE?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由.

 

【答案】

(1) 平面;(2);(3).

【解析】

試題分析:本題主要考查線面垂直、線面平行、線線垂直、線線平行以及錐體體積問題,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.第一問,在中,利用中位線得到平行,通過線面平行的判斷定理即可得到平面;第二問,要求三棱錐的體積,找到底面積和高是關(guān)鍵,通過的翻折得出平面,通過,得出平面,所以為錐體的高,利用錐體體積公式計(jì)算出體積;第三問,在線段上取點(diǎn).使, 過,在中,利用邊長求出的正切,從而確定角的度數(shù),在等邊三角形中,是角平分線,所以,再利用線面垂直的判定證出平面,所以.

試題解析:(1)平面,理由如下:

如圖:在中,由分別是、中點(diǎn),得,

平面,平面.∴平面

(2)∵,,將沿翻折成直二面角

    ∴平面

的中點(diǎn),這時(shí)   ∴平面,,

 

(3)在線段上存在點(diǎn),使

證明如下:在線段上取點(diǎn).使, 過,

平面     ∴平面

,   ∴,

   在等邊中,  ∴

平面     ∴

平面,  ∴. 

此時(shí),    ∴

考點(diǎn):1.線面平行的判定定理;2.線面垂直的判定;3.錐體體積公式.

 

練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)(選做題)(幾何證明選講)如圖,正△ABC的邊長為2,點(diǎn)M,N分別是邊AB,AC的中點(diǎn),直線MN與△ABC的外接圓的交點(diǎn)為P、Q,則線段PM=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•株洲模擬)如圖,正△ABC的邊長為4,CD是AB邊上的高,E,F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點(diǎn),現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.

(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求二面角E-DF-C的余弦值;
(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P,使AP⊥DE?如果存在,求出
BPBC
的值;如果不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,正△ABC的邊長為15,
AP
=
1
3
AB
+
2
5
AC
BQ
=
1
5
AB
+
2
5
AC

(1)求證:四邊形APQB為梯形;
(2)求梯形APQB的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,正△ABC的邊長為2a,CD是AB邊上的高,E、F分別是AD和BC邊的中點(diǎn),現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.
(1)試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系,并說明理由; 
(2)求異面直線AB與DE所成角的大。

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