Question

已知橢圓的離心率為，直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)橢圓的左焦點為，右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；
（III）設(shè)與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）∵  
∵直線相切，
∴   ∴    …………3分
∵橢圓C₁的方程是    ………………6分
（Ⅱ）∵MP=MF₂，
∴動點M到定直線的距離等于它到定點F₁（1，0）的距離，
∴動點M的軌跡是C為l₁準線，F(xiàn)₂為焦點的拋物線  ………………6分
∴點M的軌跡C₂的方程為   …………9分
（Ⅲ）Q（0，0），設(shè) 
∴ 
∵
∴
∵，化簡得
∴    ………………11分
∴
當且僅當 時等號成立   …………13分
∵
∴當的取值范圍是……14分

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