Question

設(shè)等邊三角形ABC的邊長為4

3

，其重心（中線交點）為I，若點P滿足|PI|=1，則△APB與△APC的面積之比的最大值為（　�。�

• A、

  5+ 3

  2

• B、

  3+ 5

  2

• C、

  5- 3

  2

• D、

  3- 5

  2

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：三角函數(shù)的求值

分析：根據(jù)三角形的面積公式判斷出兩個面積的比值最大時，角∠BAP應(yīng)達到最大，根據(jù)圖象確定此時點P的位置，再由條件列出角之間的關(guān)系，表示出兩個三角形的面積的比值的表達式，由角大小關(guān)系列出面積比值的不等式：

S△APB

S△APC

≤

sin( π 6 +θ)

sin( π 6 -β)

，再根據(jù)三角形有關(guān)的數(shù)據(jù)求出角的三角函數(shù)值，利用兩角和差的正弦公式求出

sin( π 6 +θ)

sin( π 6 -β)

的值即可．

解答： 解：由|PI|=1知，點P在以I為圓心的單位圓上，
設(shè)∠BAP=α，假設(shè)點P使α達到最大值β，此時點P應(yīng)落在∠IAP內(nèi)，
且此時AP應(yīng)與單位圓I相切，
因為△ABC是等邊三角形，所以0＜α≤β＜

π

3

，
令∠IAP=θ，則θ=β-

π

6

，所以β=

π

6

+θ，
則

S△APB

S△APC

=

1 2 •AP•AB•sinα

1 2 •AP•AC•sin( π 3 -α)

=

sinα

sin( π 3 -α)

≤

sinβ

sin( π 3 -β)

=

sin( π 6 +θ)

sin( π 6 -β)

，①
因為等邊三角形ABC的邊長為4

3

，其重心（中線交點）為I，所以AI=4，
由∠API=90°得，sinθ=

IP

AI

=

1

4

，則cosθ=

1-sin2θ

=

15

4

，即tanθ=

15

15

，
所以

sin( π 6 +θ)

sin( π 6 -β)

=

1 2 cosθ+ 3 2 sinθ

1 2 cosθ- 3 2 sinθ

=

1 2 + 3 2 tanθ

1 2 - 3 2 tanθ

=

1+ 3 × 15 15

1- 3 × 15 15

=

15 + 3

15 - 3

=

3+ 5

2

，②
由①②知，當(dāng)AP與單位圓I相切時，

S△APB

S△APC

的值達到最大，最大值為：

3+ 5

2

，
故選：B．

點評：本題以等邊三角形為載體考查了最值問題，平面幾何的知識，以及兩角和差的正弦公式，關(guān)鍵是利用三角形的面積公式，判斷出兩個面積的比值最大時對應(yīng)的條件，難度較大，考查分析問題、解決問題的能力，需要較強的邏輯分析能力．