Question

6．已知函數(shù)f_M（x）的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，滿足f_M（x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x∈M\\ 0，x∉M\end{array}$（M是R的非空真子集），在R上有兩個(gè)非空真子集A，B，且A∩B=ϕ，則F（x）=$\frac{{{f_{A∪B}}（x）+1}}{{{f_A}（x）+{f_B}（x）+2}}$的值域?yàn)?\{\frac{1}{2}，\frac{2}{3}\}$．

Answer 1

分析 對(duì)F（x）中的x屬于什么集合進(jìn)行分類討論，利用題中新定義的函數(shù)求出f（x）的函數(shù)值，從而得到F（x）的值域即可．

解答 解：當(dāng)x∈C_R（A∪B）時(shí)，f_A∪B（x）=0，f_A（x）=0，
f_B（x）=0，
∴F（x）=$\frac{0+1}{0+0+2}$=$\frac{1}{2}$；
同理得：當(dāng)x∈B時(shí)或x∈A時(shí)，F(xiàn)（x）=$\frac{1+1}{1+1+1}$=$\frac{2}{3}$；
故F（x）=$\frac{{{f_{A∪B}}（x）+1}}{{{f_A}（x）+{f_B}（x）+2}}$的值域?yàn)閧$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$}
故答案為：{$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的值域、分段函數(shù)，解答關(guān)鍵是對(duì)于新定義的函數(shù)f_M（x）的正確理解，屬于創(chuàng)新型題目．