【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是邊長為2的等邊三角形且垂直于底, 的中點(diǎn)。

1)證明:直線平面;

2)點(diǎn)在棱上,且直線與底面所成角為,求二面角的余弦值。

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】試題分析:(1) 取的中點(diǎn),連結(jié), ,由題意證得,利用線面平行的判斷定理即可證得結(jié)論;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求得半平面的法向量: , ,然后利用空間向量的相關(guān)結(jié)論可求得二面角的余弦值為

試題解析:(1)取中點(diǎn),連結(jié),

因為的中點(diǎn),所以, ,由,又

所以.四邊形為平行四邊形,

, ,故

(2)

由已知得,以A為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向為x軸正方向, 為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則

, , ,

,

因為BM與底面ABCD所成的角為45°,而是底面ABCD的法向量,所以

,

即(x-1)+y-z=0

又M在棱PC上,學(xué)|科網(wǎng)設(shè)

由①,②得

所以M,從而

設(shè)是平面ABM的法向量,則

所以可取m=(0,-,2).于是

因此二面角M-AB-D的余弦值為

點(diǎn)睛:1求解本題要注意兩點(diǎn):兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角,②利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算,要認(rèn)真細(xì)心、準(zhǔn)確計算.

2設(shè)m,n分別為平面αβ的法向量,則二面角θ<mn>互補(bǔ)或相等,故有|cos θ||cos<m,n>|=.求解時一定要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】小圖給出了某池塘中的浮萍蔓延的面積與時間(月)的關(guān)系的散點(diǎn)圖.有以下敘述:

①與函數(shù)相比,函數(shù)作為近似刻畫的函數(shù)關(guān)系的模型更好;

②按圖中數(shù)據(jù)顯現(xiàn)出的趨勢,第個月時,浮萍的面積就會超過;

③按圖中數(shù)據(jù)顯現(xiàn)出的趨勢,浮萍每個月增加的面積約是上個月增加面積的兩倍;

④按圖中數(shù)據(jù)顯現(xiàn)出的趨勢,浮萍從月的蔓延到至少需要經(jīng)過個月.

其中正確的說法有__________(填序號).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為及時了解適齡公務(wù)員對開放生育二胎政策的態(tài)度,某部門隨機(jī)調(diào)查了90位30歲到40歲的公務(wù)員,得到情況如表:
(1)完成表格,并判斷是否有99%以上的把握認(rèn)為“生二胎意愿與性別有關(guān)”,并說明理由;
(2)現(xiàn)把以上頻率當(dāng)作概率,若從社會上隨機(jī)獨(dú)立抽取三位30歲到40歲的男公務(wù)員訪問,求這三人中至少有一人有意愿生二胎的概率.
(3)已知15位有意愿生二胎的女性公務(wù)員中有兩位來自省婦聯(lián),該部門打算從這15位有意愿生二胎的女性公務(wù)員中隨機(jī)邀請兩位來參加座談,設(shè)邀請的2人中來自省女聯(lián)的人數(shù)為X,求X的公布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

男性公務(wù)員

女性公務(wù)員

總計

有意愿生二胎

30

15

無意愿生二胎

20

25

總計

附:

P(k2≥k0

0.050

0.010

0.001

k0

3.841

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知曲線C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),Ox軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程
(2)若直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(sinθ+cosθ)=1,求直線l被曲線C截得的弦長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評,根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,記錄他們的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成7組: ,并整理得到如下頻率分布直方圖:

Ⅰ)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,估計其分?jǐn)?shù)小于70的概率;

Ⅱ)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù);

Ⅲ)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】奧地利遺傳學(xué)家孟德爾1856年用豌豆作實驗時,他選擇了兩種性狀不同的豌豆,一種是子葉顏色為黃色,種子性狀為圓形,莖的高度為長莖,另一種是子葉顏色為綠色,種子性狀為皺皮,莖的高度為短莖。我們把純黃色的豌豆種子的兩個特征記作,把純綠色的豌豆的種子的兩個特征記作,實驗雜交第一代收獲的豌豆記作,第二代收獲的豌豆出現(xiàn)了三種特征分別為,,請問,孟德爾豌豆實驗第二代收獲的有特征的豌豆數(shù)量占總收成的( )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,側(cè)棱底面,且側(cè)棱的長是,點(diǎn)分別是的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明: 平面

(Ⅱ)求三棱錐的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)(單位:萬元)對年銷售量(單位:噸)的影響,對近六年的年宣傳費(fèi)和年銷售量()的數(shù)據(jù)作了初步統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù):

年份(

2012

2013

2014

2015

2016

2017

年宣傳費(fèi)(萬元)

23

25

27

29

32

35

年銷售量(噸)

11

21

24

66

115

325

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,哪一個更適合作為年銷售量(噸)與關(guān)于宣傳費(fèi)(萬元)的回歸方程類型;

(2)規(guī)定當(dāng)產(chǎn)品的年銷售量(噸)與年宣傳費(fèi)(萬元)的比值大于1時,認(rèn)為該年效益良好,現(xiàn)從這6年中任選3年,記其中選到效益良好的數(shù)量為,試求的所有取值情況及對應(yīng)的概率;

(3)根據(jù)頻率分布直方圖中求出樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的思想方法,求的平均數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知向量,,角,的內(nèi)角,其所對的邊分別為,,.

(1)當(dāng)取得最大值時,求角的大。

(2)在(1)成立的條件下,當(dāng)時,求的取值范圍.

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