設(shè){an}是公差d不為零的正項等差數(shù)列,Sn為其前n項的和,滿足5S3-6S5=-105,a2,a5,a14成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)c∈N,c≥2,令bn=|
an2c-1
-1|
,Tn為數(shù)列{bn}的前n項的和,若T2c≤6,求c的值.
分析:(1)根據(jù)等差數(shù)列求和公式分別表示出S3和S5,進(jìn)而根據(jù)題設(shè)等式求得a1和d的關(guān)系式,用等差數(shù)列的通項公式表示出a2,a5,a14,根據(jù)等差數(shù)列等差中項的性質(zhì)建立等式求得a1和d的另一關(guān)系式,進(jìn)而聯(lián)立求得a1和d的,則數(shù)列的通項公式可得.
(2)把(1)中求得的an代入求得bn,進(jìn)而求得n≤c和n≥c+1時bn,進(jìn)而利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式求得前2c項的和,進(jìn)而根據(jù)T2c≤6,求得c的范圍,進(jìn)而根據(jù)c∈N進(jìn)而求得c的值.
解答:解:(1)∵Sn=na1+
n(n-1)d
2
,
∴S5=5a1+10d,S3=3a1+3d
∴5S3-6S5=-(15a1+45d)=-105
∴a1+3d=7①
又a2,a5,a14成等比數(shù)列.
∴(a52=a2a14,即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)
∴d2=2a1d,∵d≠0
∴d=2a1,②
由①②得a1=1,d=2
∴an=2n-1
(2)bn=|
an
2c-1
-1|
=|
2(n-c)
2c-1
|=
2|n-c|
2c-1

當(dāng)n≤c時,bn=
2(c-n)
2c-1
,當(dāng)n≥c+1時,bn=
2(n-c)
2c-1

∴Tn=b1+b2+…+b2c=(b1+b2+…+bc)+(bc+1+bc+2+…+b2c)=
=(
2(c-1)
2c-1
+
2(c-2)
2c-1
+…+
0
2c-1
)+(
2
2c-1
+
4
2c-1
+…+
2c
2c-1
)=
2c 2
2c-1

∵Tn≤6,∴
2c 2
2c-1
≤6,
∴c2-6c+3≤0,解得3-
6
≤c≤3+
6

∵c∈N,
∴c=2或c=3或c=4或c=5.
點(diǎn)評:本題主要考查了數(shù)列的求和問題.考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力.
練習(xí)冊系列答案
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12
)x
的圖象分別交于點(diǎn)An與Bn(如圖所示),記Bn的坐標(biāo)為(an,bn),直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面積分別為s1和s2,一般地記直角梯形AnAn+1Bn+1Bn的面積為sn
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(2)設(shè)c∈N,c≥2,令bn=|
an
2c-1
-1|
,Tn為數(shù)列{bn}的前n項的和,若T2c≤6,求c的值.

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