Question

3．在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：x²=-2py（p＞0）與直線y=kx+m（m＜0）（其中m、p為常數(shù)）交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)k=0時(shí)，求P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）試問(wèn)y軸上是否存在點(diǎn)M，無(wú)論k怎么變化，總存在以原點(diǎn)為圓心的圓與直線MP、MQ都相切，若存在求出M的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立方程，解得即可，
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M（0，y₀）滿足條件，由已知直線MP、MQ的傾斜角互為補(bǔ)角，根據(jù)斜率的關(guān)系得到2km₁m₂+（m-y₀）（x₁+x₂）=0，再由韋達(dá)定理
，代入計(jì)算即可．

解答 解：（1）當(dāng)k=0時(shí)，直線為y=m（m＜0），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=m\\{x^2}=-2py\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}y=m\\ x=±\sqrt{-2pm}\end{array}\right.$，
所以$P（{-\sqrt{-2pm}，m}），Q（{-\sqrt{-2pm}，m}）$；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M（0，y₀）滿足條件，由已知直線MP、MQ的傾斜角互為補(bǔ)角，
即k_MP=-k_MQ，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
所以$\frac{{{y_1}-{y_0}}}{x_1}=-\frac{{{y_2}-{y_0}}}{x_2}$，
又y₁=kx₁+m，且y₂=kx₂+m，
所以2km₁m₂+（m-y₀）（x₁+x₂）=0①
又由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}=-2py\end{array}\right.$消y得x²+2pkx+2pm=0，
由韋達(dá)定理：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-2pk\\{x_1}{x_2}=2pm\end{array}\right.$，
代入①得2k•2pm+（m-y₀）（-2pk）=0，
所以y₀=-m，
所以M（0，-m），
故點(diǎn)M（0，-m）符合題目要求．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及直線和拋物線的位置關(guān)系和定點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題．