Question

(本小題滿分12分) 在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，點(diǎn)在底面上的射影恰是中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）當(dāng)側(cè)棱和底面成角時(shí)， 求
（Ⅲ）若為側(cè)棱上一點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，．

Answer 1

（Ⅰ）見(jiàn)解析
（Ⅱ）
（Ⅲ）

本試題主要考查了同學(xué)們的空間想象能力和邏輯推理能力及計(jì)算能力的綜合運(yùn)用。對(duì)于空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系的研究和靈活的運(yùn)用。
（1）中利用線面垂直的性質(zhì)定理得到
（2）中，分析棱錐的底面積和高度，可以得到體積。
（3）中，結(jié)合三垂線定理和中心的位置關(guān)系得到結(jié)論。
解法一：（Ⅰ）連結(jié)AO，∵A₁O⊥面ABC，AO⊥BC．∴A₁A⊥BC．     
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠A₁AO=45°      3分
由底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，可知AO=3
∴A₁O=3，AA₁=3
4                          7分
（Ⅲ）過(guò)D作DF∥A₁O，交AO于F，則DF⊥平面ABC．
∴BF為BD在面ABC內(nèi)的射影，
又∵A₁C₁∥AC，∴要使BD⊥A₁C₁，只要BD⊥AC，即證BF⊥AC，
∴F為△ABC的中心，∴     12分