Question

1．如圖，已知四棱錐S-ABCD，SB⊥AD，側(cè)面SAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面SAD與底面ABCD所成的二面角為120°．
（1）求點(diǎn)S到平面ABCD的距離；
（2）若E為SC的中點(diǎn)，求二面角A-DE-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）解：作SO⊥平面ABCD，連接OB，OA，OD，OB與AD交于點(diǎn)F，連接SF．推導(dǎo)出OB⊥AD，SF⊥AD．從而∠SFB為側(cè)面SAD與底面ABCD所成的二面角的平面角，由此能求出點(diǎn)S到平面ABCD的距離．
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，使y軸與BC平行，OB，OS所在直線分別為y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-DE-C的正弦值．

解答 解：（1）如圖，作SO⊥平面ABCD，垂足為點(diǎn)O．
連接OB，OA，OD，OB與AD交于點(diǎn)F，連接SF．
∵SB⊥AD，
∴OB⊥AD．
∵SA=SD，
∴OA=OD．
∴點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，所以SF⊥AD．
由此知∠SFB為側(cè)面SAD與底面ABCD所成的二面角的平面角，
∴∠SFB=120°，
∵側(cè)面SAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，
∴SF=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
∴SO=SF•sin60°=2$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
即點(diǎn)S到平面ABCD的距離為3．…（6分）
（2）如圖以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，使y軸與BC平行，OB，OS所在直線分別為y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得：A（$\sqrt{3}$，2，0），D（$\sqrt{3}，-2$，0），C（3$\sqrt{3}$，-4，0），E（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-2，$\frac{3}{2}$），
$\overrightarrow{AD}$=（0，-4，0），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{CE}$=（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，2，$\frac{3}{2}$），
設(shè)平面ADE的法向量為$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{AD}=-4y=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{DE}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+\frac{3}{2}z=0.\end{array}\right.$令x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，0，-1）．
設(shè)平面DEC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{CE}=-\frac{{3\sqrt{3}}}{2}x+2y+\frac{3}{2}z=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{DE}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+\frac{3}{2}z=0\end{array}\right.$，令x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，3，-1），
設(shè)二面角的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{4}•\sqrt{13}}$=$\frac{2}{\sqrt{13}}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{2}{\sqrt{13}}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
∴二面角A-DE-C的正弦值為$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．