Question

在銳角三角形ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且

3

a-2csinA=0．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，求證：a+b≤4．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，根據(jù)sinA不為0求出sinC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）利用正弦定理列出關(guān)系式，將c與sinC的值代入求出2R的值，表示出a與b，進(jìn)而表示出a+b，利用和差化積公式變形后，把2R與sin

A+B

2

的值代入計(jì)算，利用余弦函數(shù)的值域確定出a+b的最大值，即可確定出a+b的范圍．

解答： 解：（1）在銳角三角形ABC中，

3

a-2csinA=0，
利用正弦定理化簡得：

3

sinA-2sinCsinA=0，即sinA（

3

-2sinC）=0，
∵sinA≠0，
∴sinC=

3

2

，
則C=60°；
（2）∵c=2，sinC=

3

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，得：2R=

2

3 2

=

4 3

3

，
∴a+b=2RsinA+2RsinB=2R（sinA+sinB）=2R•2sin

A+B

2

cos

A-B

2

=4cos

A-B

2

，
當(dāng)A-B=0，即A=B時(shí)，a+b的最大值為4，
則a+b≤4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．