Question

【題目】以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知過點(diǎn)且斜率為1的直線與曲線：（是參數(shù)）交于兩點(diǎn)，與直線：交于點(diǎn).

（1）求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若的中點(diǎn)為，比較與的大小關(guān)系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），詳見解析

【解析】

（1）將方程消參得到，即為曲線C的普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，將化為，即為直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）聯(lián)立消去y得，設(shè)點(diǎn)，，則由中點(diǎn)公式，得點(diǎn)M的坐標(biāo)是，由韋達(dá)定理得到點(diǎn)M的坐標(biāo)是(4，3)，聯(lián)立，求得點(diǎn)N的坐標(biāo)是，應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式和弦長公式求得與的值，比較可得結(jié)果.

（1）由得：

，

故曲線C的普通方程是；

由及公式得，

故直線的直角坐標(biāo)方程是.

（2）因為直線過點(diǎn)且斜率為1，

所以根據(jù)點(diǎn)斜式得，直線的方程為，即.

曲線C：是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，

聯(lián)立消去y得.

設(shè)點(diǎn)，，則由中點(diǎn)公式，得點(diǎn)M的坐標(biāo)是.

由韋達(dá)定理，得，，所以，

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是(4，3).

聯(lián)立解得，故點(diǎn)N的坐標(biāo)是.

所以由兩點(diǎn)間的距離公式，得.

所以由弦長公式，得弦長.

因為，

所以.故.