Question

1．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D是BC的中點，AB⊥AC，AB=AC=AA₁=2．
（1）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（2）求二面角B₁-AD-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)A₁C，交AC₁于點E，連結(jié)DE，則DE∥A₁B，由此能證明A₁B∥平面ADC₁．
（2）推導(dǎo)出AD⊥BC，CC₁⊥AD，則∠B₁DC₁是二面角B₁-AD-C₁的平面角，由此利用余弦定理能求出二面角B₁-AD-C₁的余弦值．

解答 證明：（1）如圖，連結(jié)A₁C，交AC₁于點E，
則點E是A₁C與AC₁的中點，連結(jié)DE，
由點D是BC的中點，點E是A₁C的中點，得DE是△A₁BC的中位線，
∴DE∥A₁B，
∵DE?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁．
 解：（2）∵D是BC的中點，△ABC是等腰直角三角形，
∴AD⊥BC，
又∵CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥AD，
又BC∩CC₁=C，∴AD⊥C₁D，
∴∠B₁DC₁是二面角B₁-AD-C₁的平面角，
∵AB⊥AC，AB=AC=AA₁=2，
∴由勾股定理得BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=2\sqrt{2}$，∴BD=CD=$\frac{1}{2}BC=\sqrt{2}$，
在△BDB₁中，由勾股定理得B₁D=$\sqrt{B{{B}_{1}}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
在△CDC₁中，由勾股定理得C₁D=$\sqrt{C{{C}_{1}}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
在△B₁DC₁中，由余弦定理得cos∠B₁DC₁=$\frac{（\sqrt{6}）^{2}+（\sqrt{6}）^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}{2×\sqrt{6}×\sqrt{6}}$=$\frac{1}{3}$．
∴二面角B₁-AD-C₁的余弦值為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．