Question

已知斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C：

x2

4

+y2=1于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點(diǎn)．
（1）記直線OM，ON的斜率分別為k₁，k₂，當(dāng)3（k₁+k₂）=8k時(shí)，證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)D（1，0），設(shè)△OMD與△OND的面積比為t，當(dāng)k2＜

5

12

時(shí)，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出直線l的斜截式方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到M，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，寫出直線OM，ON的斜率后作和，整理后轉(zhuǎn)化為含有M，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與記得形式，代入根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合已知條件3（k₁+k₂）=8k求出直線在y軸上的截距，從而證明直線l過(guò)定點(diǎn)；
（2）寫出過(guò)點(diǎn)D（1，0）的直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到M，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，進(jìn)一步得到縱坐標(biāo)的和與積，把△OMD與△OND的面積比t轉(zhuǎn)化為M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的比，由已知條件k²的范圍求出兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的平方和除以縱坐標(biāo)的乘積的范圍，由此得到關(guān)于t的不等式組，則t的取值范圍可求．

解答：（1）證明：依題意可設(shè)直線l的方程為y=kx+n，其中k≠0．
代入橢圓方程得：（1+4k²）x²+8knx+4n²-4=0，
則有

x1+x2=- 8kn 1+4k2 x1x2= 4n2-4 1+4k2

．
則k1+k2=

y1

x1

+

y2

x2

=

y1x2+y2x1

x1x2

=

x2(kx1+n)+x1(kx2+n)

x1x2

=

2kx1x2+n(x1+x2)

x1x2

=-

8k

4n2-4

．
由條件3（k₁+k₂）=8k，有-

24k

4n2-4

=8k，而k≠0，則有n=±

1

2

，
從而直線l過(guò)定點(diǎn)(0，

1

2

)或(0，-

1

2

)；
（2）解：依題意可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），其中k≠0．
代入橢圓方程得：（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，
則有

x1+x2= 8k2 1+4k2 x1x2= 4k2-4 1+4k2

．
從而有y1+y2=k(x1+x2-2)=-

2k

1+4k2

…①
y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-

3k2

1+4k2

…②
由①②得，

(y1+y2)2

y1y2

=-

4

3(1+4k2)

，
由0＜k2＜

5

12

，得-

4

3

＜-

4

3(1+4k2)

＜-

1

2

．
又t=

S△OMD

S△OND

=

|y1|

|y2|

，因y₁y₂＜0，故t=-

y1

y2

，
又

(y1+y2)2

y1y2

=

y1

y2

+

y2

y1

+2=-t-

1

t

+2，
從而有-

4

3

＜-t-

1

t

+2＜-

1

2

，
得

3t2-10t+3＜0 2t2-5t+2＞0

，
解得：2＜t＜3或

1

3

＜t＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，體現(xiàn)了整體運(yùn)算思想方法，涉及直線與圓錐曲線的關(guān)系問(wèn)題，常采用聯(lián)立直線方程和曲線方程，利用根與系數(shù)關(guān)系整體計(jì)算．直線與圓錐曲線的關(guān)系問(wèn)題，往往運(yùn)算量大，這就需要學(xué)生有較強(qiáng)的運(yùn)算能力．該類問(wèn)題在高考試卷中常以壓軸題的形式出現(xiàn)．