已知△ABC的三邊長(zhǎng)|AB|=,|BC|=4,|AC|=1,動(dòng)點(diǎn)M滿足=λ+μ,且λμ=.

(1)求||最小值,并指出此時(shí)與,的夾角;

(2)是否存在兩定點(diǎn)F1,F2使|||-|||恒為常數(shù)k?若存在,指出常數(shù)k的值,若不存在,說(shuō)明理由.


解:(1)由余弦定理知:

cos∠ACB==⇒∠ACB=.

因?yàn)閨|2 ==(λ+μ)2

=λ2+16μ2+2λμ·

=λ2+16μ2+1≥3.

所以||≥,當(dāng)且僅當(dāng)λ=±1時(shí),“=”成立.

故||的最小值是,

此時(shí) <,>=<,>=或.

(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn),∠ACB的平分線所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(如圖),則A,B(2,-2),

設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y),

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/09/10/13/2014091013372451705664.files/image145.gif'>=λ+μ,

所以⇒

再由λμ=知-y2=1,

所以,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F1(-2,0),F2(2,0)為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線,

即存在兩定點(diǎn)F1(-2,0),F2(2,0)使|||-|||恒為常數(shù)2,即k=2.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


當(dāng)函數(shù)y=sin x-cos x(0≤x<2π)取得最大值時(shí),x=　　　　. 

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過(guò)雙曲線C: -=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)作圓x2+y2=a2的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B.若∠AOB=120°(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線C的離心率為　　　　. 

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已知雙曲線-=1(a>0,b>0),過(guò)其右焦點(diǎn)F且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線交于M,N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若OM⊥ON,則雙曲線的離心率為(　　)

(A) (B)

(C) (D)

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已知F1,F2為雙曲線Ax2-By2=1的焦點(diǎn),其頂點(diǎn)是線段F1F2的三等分點(diǎn),則其漸近線的方程為(　　)

(A)y=±2x      (B)y=±x

(C)y=±x            (D)y=±2x或y=±x

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若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓+=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則·的最大值為(　　)

(A)2    (B)3    (C)6    (D)8

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若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列,則該橢圓的離心率是(　　)

(A)   (B)   (C)   (D)

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橢圓E: +=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,焦距為2,過(guò)F1作垂直于橢圓長(zhǎng)軸的弦PQ,|PQ|為3.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若過(guò)F1的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),判斷是否存在直線l使得∠AF2B為鈍角,若存在,求出l的斜率k的取值范圍.

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過(guò)雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=a2的切線,切點(diǎn)為T,延長(zhǎng)FT交雙曲線右支于點(diǎn)P,若T為線段FP的中點(diǎn),則該雙曲線的漸近線方程為(　　)

(A)x±y=0        (B)2x±y=0

(C)4x±y=0  (D)x±2y=0

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