Question

2．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F（c，0），圓F：（x-c）²+y²=c²，直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直且在x軸上的截距為$\frac{2}{3}$a．若圓F被直線l所截得的弦長為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$c，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由題意，設(shè)直線方程為y=-$\frac{a}$（x-$\frac{2}{3}$a），即$\frac{a}$x+y-$\frac{2{a}^{2}}{3b}$=0，利用圓F被直線l所截得的弦長為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$c，可得圓心到直線的距離d=$\frac{|\frac{ac}-\frac{2{a}^{2}}{3b}|}{\sqrt{\frac{{a}^{2}}{^{2}}+1}}$=$\sqrt{{c}^{2}-（\frac{2\sqrt{2}}{3}c）^{2}}$，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，設(shè)直線方程為y=-$\frac{a}$（x-$\frac{2}{3}$a），即$\frac{a}$x+y-$\frac{2{a}^{2}}{3b}$=0，
∵圓F被直線l所截得的弦長為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$c，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|\frac{ac}-\frac{2{a}^{2}}{3b}|}{\sqrt{\frac{{a}^{2}}{^{2}}+1}}$=$\sqrt{{c}^{2}-（\frac{2\sqrt{2}}{3}c）^{2}}$，
∴e²-3e+2=0，
∵e＞1，
∴e=2，
故選C．

點評 本題考查雙曲線的離心率，考查直線與圓的位置關(guān)系的運用，屬于中檔題．