Question

13．小明計劃在8月11日至8月20日期間游覽某主題公園．根據旅游局統(tǒng)計數(shù)據，該主題公園在此期間“游覽舒適度”（即在園人數(shù)與景區(qū)主管部門核定的最大瞬時容量之比，40%以下為舒適，40%-60%為一般，60%以上為擁擠）情況如圖所示．小明隨機選擇8月11日至8月19日中的某一天到達該主題公園，并游覽2天．

（Ⅰ）求小明連續(xù)兩天都遇上擁擠的概率；
（Ⅱ）設X是小明游覽期間遇上舒適的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；
（Ⅲ）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天游覽舒適度的方差最大？（結論不要求證明）

Answer 1

分析 設A_i表示事件“小明8月11日起第i日連續(xù)兩天游覽主題公園”（i=1，2，…，9）．根據題意，$P（{A_i}）=\frac{1}{9}$，且事件A_i與A_j互斥．
（Ⅰ）設B為事件“小明連續(xù)兩天都遇上擁擠”，則B=A₄∪A₇．利用互斥事件的概率計算公式即可得出．
（Ⅱ）由題意，可知X的所有可能取值為0，1，2，結合圖象，利用互斥事件與古典概率計算公式即可得出．
（Ⅲ）從8月16日開始連續(xù)三天游覽舒適度的方差最大．

解答 解：設A_i表示事件“小明8月11日起第i日連續(xù)兩天游覽主題公園”（i=1，2，…，9）．
根據題意，$P（{A_i}）=\frac{1}{9}$，且事件A_i與A_j互斥．…（1分）
（Ⅰ）設B為事件“小明連續(xù)兩天都遇上擁擠”，
則B=A₄∪A₇．…（2分）
所以$P（B）=P（{A_4}∪{A_7}）=P（{A_4}）+P（{A_7}）=\frac{2}{9}$．…（5分）
（Ⅱ）由題意，可知X的所有可能取值為0，1，2，…（6分）
$P（X=0）=P（{A_4}∪{A_7}∪{A_8}）=P（{A_4}）+P（{A_7}）+P（{A_8}）=\frac{1}{3}$，…（7分）
$P（X=1）=P（{A_3}∪{A_5}∪{A_6}∪{A_9}）=P（{A_3}）+P（{A_5}）+P（{A_6}）+P（{A_9}）=\frac{4}{9}$，…（8分）
$P（X=2）=P（{A_1}∪{A_2}）=P（{A_1}）+P（{A_2}）=\frac{2}{9}$．       …（9分）
所以X的分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$

…（10分）
故X的期望$EX=0×\frac{1}{3}+1×\frac{4}{9}+2×\frac{2}{9}=\frac{8}{9}$．…（11分）
（Ⅲ）從8月16日開始連續(xù)三天游覽舒適度的方差最大．…（13分）

點評 本題考查了隨機變量的分布列及其數(shù)學期望、互斥事件與古典概率計算公式、數(shù)形結合思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．