Question

【題目】如圖，已知橢圓 （a＞b＞0）的離心率為 ，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1 ， F2為頂點的三角形的周長為 ．一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D．

（1）求橢圓和雙曲線的標準方程；
（2）設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2 ， 證明k1k2=1；
（3）探究 是否是個定值，若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓的半焦距為c，由題意知： ，2a+2c=4（ +1）

解得a=2 ，c=2，

又a2=b2+c2，解得b=2．

故橢圓的標準方程為

由題意設等軸雙曲線的標準方程為 （m＞0），

因為等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點．

所以m=2，

因此雙曲線的標準方程為

（2）證明：設P（x0，y0），F(xiàn)1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0）

則k1= ， ．

因為點P在雙曲線x2﹣y2=4上，所以 ．

因此 ，

故k1k2=1．

（3）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），

由于PF1的方程為y=k1（x+2），將其代入橢圓方程得

所以 ，

所以 = =

同理可得 ．

則 ，

又k1k2=1，

所以 = ．

故 恒成立，即 是定值

【解析】（1）由橢離心率為 ，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1 ， F2為頂點的三角形的周長為 ，求出a，b，從而能求出橢圓的標準方程，設等軸雙曲線的標準方程為 ，由等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，求出m，從而能求出雙曲線的標準方程．（2）設P（x0 ， y0），F(xiàn)1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），則k1= ， ，由此能證明k1k2=1．（3）PF1的方程為y=k1（x+2），將其代入橢圓方程得 ，由此利用韋達定理、弦長公式，結合已知條件能推導出 是定值．