Question

已知函數(shù)f（x）=（x+2）ln（x+1）-ax2-x（a∈R）,g（x）=ln（x+1）.

(1)若a=0，F(xiàn)(x)=f(x)-g(x),求函數(shù)F（x）的極值點(diǎn)及相應(yīng)的極值.

(2)若對(duì)于任意x2>0，存在x1滿足x1<x2且g(x1)=f(x2)成立，求a的取值范圍.

 

Answer 1

(1) 只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值為0. (2)

【解析】

試題分析：(1)首先求出F（x）的表達(dá)式，然后求導(dǎo)，根據(jù)單數(shù)的性質(zhì)，求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)F（x）的極值點(diǎn)及相應(yīng)的極值.

(2) 設(shè)，依題意即求 在上存在零點(diǎn)時(shí)的取值范圍.即只需要在上恒成立. 即,在上恒成立.然后分，，，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)分別求使在上成立的a的取值范圍，最后求并集.

試題解析：(1),

,

為減函數(shù);

為增函數(shù),

所以只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值為0. 4分

(2) 設(shè)

依題意即求 在上存在零點(diǎn)時(shí)的取值范圍.

又當(dāng)時(shí)，，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以只需要在上恒成立.

即，在上恒成立.

即,在上恒成立. 7分

若，顯然不成立,因?yàn)橛傻谝粏?wèn)知在為增函數(shù)，

故

,即在恒成立,

不妨設(shè)，

，

, 9分

若,則，若，,所以為增函數(shù)，（不合題意）,

若，若，,為增函數(shù)，（不合題意）,

若，若,，為減函數(shù),（符合題意）,

綜上所述,若時(shí),恒成立,

則. 12分

考點(diǎn)：1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；2.單數(shù)的性質(zhì)；