Question

定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足f（x+y）=f（x）+f（y），且在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足2f（log₂a）+f（log 

1

2

a）≤f（1），則a的取值范圍是（　　）

• A、[1，2]
• B、（0，

  1

  2

  ]
• C、（0，2]
• D、（-∞，2]

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知條件令x=y有，f（2x）=2f（x），令x=y=0，求得f（0）=0，再令y=-x，求出f（x）為奇函數(shù)，由于f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，則f（x）在R上是遞增函數(shù)，將所求不等式化簡(jiǎn)為f（2log₂a-log₂a）≤f（1）．再由單調(diào)性即可求得a的范圍．

解答： 解：由于f（x+y）=f（x）+f（y），
則令x=y有，f（2x）=2f（x），
令x=y=0，則f（0）=2f（0），即f（0）=0，
再令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，即f（x）為奇函數(shù)，
由于f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
則f（x）在R上是遞增函數(shù)，
故2f（log₂a）+f（log 

1

2

a）≤f（1），
即為f（2log₂a）+f（-log₂a）≤f（1），
即有f（2log₂a-log₂a）≤f（1）．
則log₂a≤1，解得0＜a≤2．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及運(yùn)用，考查對(duì)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算，屬于中檔題．