Question

已知函數(shù)f(x)=4x³-3x²cosθ+cosθ,其中x∈R,θ為參數(shù),且0≤θ≤2π.

(1)當(dāng)cosθ=0時,判斷函數(shù)f(x)是否有極值;

(2)要使函數(shù)f(x)的極小值大于零,求參數(shù)θ的取值范圍;

(3)若對(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)θ,函數(shù)f(x)在區(qū)間(2a-1,a)內(nèi)都是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

解:(1)當(dāng)cosθ=0時,f(x)=4x³,則f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)是增函數(shù),故無極值.

(2)f′(x)=12x²-6xcosθ,令f′(x)=0,得x₁=0,x₂=.

由(1),只需分下面兩種情況討論:

①當(dāng)cosθ＞0時,隨x的變化,f′(x)的符號及f(x)的變化情況如下表:

x	(-∞,0)	0	(0,)		(,+)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	?↗	極大值	↙?	極小值	↗?

因此,函數(shù)f(x)在x=處取得極小值f(),

且f()=-cos³θ+cosθ.

要使f()＞0,必有-cosθ(cos²θ-)＞0,

可得0＜cosθ＜;

由于0≤θ≤2π,故＜θ＜或＜θ＜.

②當(dāng)cosθ＜0時,隨x的變化,f′(x)的符號及f(x)的變化情況如下表:

x	(-∞,)		(,0)	0	(0,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大值	?↘	極小值	↗?

因此函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值f(0),且f(0)=cosθ.

若f(0)＞0,則cosθ＞0,矛盾,所以當(dāng)cosθ＜0時,f(x)的極小值不會大于零.

綜上,要使函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)的極小值大于零,參數(shù)θ的取值范圍為(,)∪(,).

(3)由(2)知,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)與(,+∞)內(nèi)都是增函數(shù),

由題設(shè),函數(shù)f(x)在(2a-1,a)內(nèi)是增函數(shù),則a需滿足不等式組

由(2),參數(shù)θ∈(,)∪(,)時,0＜cosθ＜,要使不等式2a-1關(guān)于參數(shù)θ恒成立,必有2a-1≥,即≤a.

綜上,解得a≤0或≤a＜1,

所以a的取值范圍是(-∞,0］∪［,1).