Question

2．如果雙曲線C：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的漸近線與拋物線y=x²+$\frac{1}{4}$相切，則C的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先求雙曲線的漸近線，再利用條件漸近線與拋物線y=x²+$\frac{1}{4}$相切得方程只有一解，運用判別式為0，從而得出a，b的關系，進而求出離心率．

解答 解：雙曲線C：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的漸近線為y=±$\frac{a}$x，
所以其中一條漸近線可以為y=$\frac{a}$x，
又因為漸近線與拋物線y=x²+$\frac{1}{4}$只有一個交點，
所以$\frac{a}$x=x²+$\frac{1}{4}$只有一個解，
所以（$\frac{a}$）²-4×$\frac{1}{4}$=0 即（$\frac{a}$）²=1，即a²=b²，
c²=a²+b²，所以c²=2a²，
所以離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 熟練掌握雙曲線的漸近線與拋物線相切轉化為方程聯(lián)立得到一元二次方程的△=0，即可得出a、b的關系式，是解題的關鍵，考查雙曲線的離心率的計算公式e=$\frac{c}{a}$，屬于基礎題．